アーベル群

アーベル群（可換群）とは

数学、特に抽象代数学におけるアーベル群（または可換群）は、交換法則を満たす群のことです。ノルウェーの数学者ニールス・アーベルにちなんで名付けられました。

アーベル群の重要性

アーベル群は、環や体、加群、ベクトル空間など、抽象代数学の様々な概念の基礎となる加法群として現れます。そのため、アーベル群を理解することは、より高度な数学を学ぶ上で不可欠です。

アーベル群の定義

集合 G と二項演算 の組 (G, ) がアーベル群であるとは、以下の条件を全て満たすことを言います。

1. 結合法則: 任意の a, b, c ∈ G に対して、a (b c) = (a b) c が成り立つ。
2. 単位元の存在: ある元 1 ∈ G が存在し、任意の a ∈ G に対して、a 1 = 1 a = a が成り立つ。
3. 逆元の存在: 任意の a ∈ G に対して、ある元 a⁻¹ ∈ G が存在し、a a⁻¹ = a⁻¹ a = 1 が成り立つ。
4. 交換法則: 任意の a, b ∈ G に対して、a b = b a が成り立つ。

アーベル群では、演算を + で表すことが多く、その場合、単位元は 0 と表記され（零元）、逆元は -a と表記されます（マイナス元または反数）。

アーベル群の例

整数全体の集合 Z は、通常の加法に関してアーベル群をなします。
有理数全体の集合 Q（ただし0を除く）は、通常の乗法に関してアーベル群をなします。
実数全体の集合 R は、通常の加法に関してアーベル群をなします。
複素数全体の集合 C は、通常の加法に関してアーベル群をなします。

アーベル群の性質

アーベル群は、整数環 Z 上の加群とみなすことができます。
アーベル群の間の準同型全体の集合 Hom(G, H) は、それ自身アーベル群となります。
任意のアーベル群は、階数と呼ばれるものを持つ。

有限アーベル群

有限アーベル群は、有限個の元からなるアーベル群です。

有限アーベル群の基本定理

任意の有限アーベル群 G は、素冪位数の巡回群の直和に分解できます。つまり、ある素数 p と正の整数 k に対して Z/pᵏZ の形の群の直和で表現できます。

無限アーベル群

無限アーベル群は、無限個の元からなるアーベル群です。

最も単純な無限アーベル群は、無限巡回群 Z です。
* 可除群は、重要な無限アーベル群のクラスであり、完全に特徴づけられています。

まとめ

アーベル群は、抽象代数学において基本的な概念であり、様々な分野に応用されています。この記事では、アーベル群の定義、例、性質、そして有限アーベル群と無限アーベル群について解説しました。アーベル群を理解することで、より高度な数学の学習に役立つでしょう。

もう一度検索