実効値

実効値とは

実効値（Effective Value, Root Mean Square Value, RMS）は、交流電圧や電流の大きさを表すための重要な概念です。交流は時間とともに値が変動するため、直流のように単純な値では表せません。実効値は、交流が直流と同じ効果を発揮するような、等価な直流の値として定義されます。

具体的には、ある電気抵抗に交流電圧を加えたときに消費される平均電力と、同じ抵抗に直流電圧を加えたときに消費される電力が等しくなる場合、その交流電圧と電流の実効値は、それぞれ直流電圧と直流電流と同じ値であると定義されます。

音響における実効値

音波のような時間的に変動する物理量の場合も、実効値は変動の大きさを表すために用いられます。瞬時値の二乗平均の平方根（RMS）として計算され、例えば音圧の場合、実効音圧が一般的に音圧として認識されています。

正弦波交流における実効値と最大値の関係

正弦波交流の場合、電圧や電流の瞬時値は時間の経過とともに正弦波を描いて変動します。瞬時値、最大値（振幅）、実効値の関係は以下のようになります。

定義

• - t: 時刻 [s]
• - R: 電気抵抗 [Ω]
• - v(t): 電圧の瞬時値 [V]
• - Vm: 電圧の最大値 [V]
• - Ve: 電圧の実効値 [V]
• - i(t): 電流の瞬時値 [A]
• - Im: 電流の最大値 [A]
• - Ie: 電流の実効値 [A]
• - P(t): 電力の瞬時値 [W]
• - PR: 電力の平均値 [W]
• - ω: 角速度 [rad/s]
• - T: 周期 [s]

これらの定義に基づき、正弦波交流の瞬時値は以下の式で表されます。

math
i(t) = I_m \sin \omega t
v(t) = V_m \sin \omega t

オームの法則

オームの法則 `v(t) = Ri(t)` を適用すると、`Vm = RIm` が得られます。

電力

電力は電圧と電流の積であり、`P(t) = i(t)v(t)` となります。これを計算すると,

math
P(t) = I_m V_m \sin^2 \omega t = R{I_m}^2 \sin^2 \omega t = \frac{1}{2}R{I_m}^2(1-\cos 2\omega t)

平均電力

平均電力は、`P(t)` を1周期にわたって積分し、周期 `T` で割ることで求められます。計算の結果、平均電力 `PR` は以下のようになります。

math
P_R = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \frac{1}{2}R{I_m}^2(1-\cos 2\omega t)dt = R\left( \frac{I_m}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{R} \left( \frac{V_m}{\sqrt{2}} \right)^2

実効値と最大値の関係

上記の結果から、実効値と最大値の関係は以下のようになります。

math
V_e = \frac{V_m}{\sqrt{2}}
I_e = \frac{I_m}{\sqrt{2}}


最大値と実効値の比は波高率と呼ばれます。

正弦波交流の平均値

正弦波交流の平均値（絶対値の平均）は、半周期にわたって積分し、半周期 `T/2` で割ることで計算できます。電圧の平均値 `Vav` および電流の平均値 `Iav` は、それぞれ以下のようになります。

math
V_{av} = \frac{2}{\pi} V_m
I_{av} = \frac{2}{\pi} I_m


実効値と平均値の比は波形率と呼ばれます。

非正弦波交流の実効値

一般的な周期的な電流波形 `i(t)` の実効値 `Irms` は、瞬時値 `i(t)` を2乗して平均した値の平方根として定義されます。平均は、1周期にわたって積分して周期 `T` で割った値なので、次式で実効値が求められます。

math
I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}i(t)^2 dt}

真の実効値表示

交流電圧計や電流計は、正弦波交流の場合には実効値を表示しますが、厳密には、平均値の定数倍を表示するタイプと、真の実効値を表示するタイプがあります。

正弦波交流を計測する場合、両者は一致するため区別する必要はありませんが、非正弦波交流を計測する場合には、表示された値がどちらの意味を持つかを区別する必要があります。

アナログ電圧計や電流計では、整流器形は平均値指示、可動鉄片形は真の実効値指示です。デジタル電圧計や電流計では、「真の実効値表示」が可能な機種が多く、特に明記されています。

まとめ

実効値は交流回路における電力計算や、音響信号の大きさを表す上で非常に重要な概念です。正弦波だけでなく、非正弦波交流でも実効値を理解することで、より正確な分析や設計が可能になります。この記事が、実効値の理解を深める一助となれば幸いです。

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