対垂三角形

幾何学の世界には、二つの三角形の間に成り立つ様々な興味深い関係性があります。「対垂（たいすい、英: orthologic）」もその一つで、頂点と辺の特定の配置における共点性を示す特別な性質です。

対垂の定義

対垂とは、二つの三角形△ABCと△DEFが互いに対して持つ関係性を指します。具体的には、△ABCの各頂点、つまりA、B、Cから、それぞれ対応する△DEFの辺、EF、FD、DEに向かって垂線を引いたとき、これらの三本の垂線が一点で交わるという性質です。

驚くべき対称性

この対垂の関係は、非常に美しい対称性を持っています。もし、△ABCの頂点から△DEFの辺へ下ろした垂線が一点で交わるならば、その逆も必ず成り立ちます。つまり、△DEFの各頂点D、E、Fから、それぞれ△ABCの対応する辺BC、CA、ABへ垂線を下ろした場合も、これらの三本の垂線は別の一点において必ず交わります。

このようにして生じる二つの共点を、それぞれ「対垂の中心（orthology centers）」と呼びます。

対等角三角形への広がり

対垂の関係は、垂線、すなわち頂点から辺への直線が常に90度をなす場合に限定されるものではありません。より一般的に、頂点から辺へ下ろす直線が、その辺と常に一定の、ただし垂線の場合とは異なる角度（0度も含む）をなすように定義された場合でも、同様の共点性が観察されることがあります。

このような性質を持つ二つの三角形は、「対等角三角形（isologic triangles）」と呼ばれます。対等角三角形の定義において、頂点から辺への直線を辺と平行になるように定める（つまり角度を0度とする）特定のケースは、幾何学における有名な定理であるマクスウェルの定理として知られています。

対垂の関係を持つ三角形の例

特定の幾何学的構成を持つ三角形のペアは、常に対垂の関係にあることが知られています。いくつかの例を挙げましょう。

基準となる三角形とその「中点三角形」（各辺の中点を結んでできる三角形）。
元の三角形に対する「垂心三角形」（元の三角形の垂心を頂点とする三角形）。
三角形の内部または外部の任意の点から各辺に下ろした垂線の足を頂点とする「垂足三角形」。
その他、逆補三角形、接触三角形、外接三角形、傍心三角形（Extouch triangle）なども、元の三角形と対垂の関係を持ちます。

これらの例は、対垂という概念が様々な三角形の構成と密接に関連していることを示しています。

ソンダーの定理との関連

二つの三角形が、対垂であるという性質だけでなく、「配景（perspectivity）」という別の幾何学的な関係も同時に満たす場合（このような関係は「bilogic」とも称されます）、それらの三角形の対垂の中心と、配景の中心には特別な位置関係が成り立ちます。

具体的には、二つの対垂の中心と一つの配景の中心は、その二つの三角形が配景であることから定まる「配景の軸」に対して垂直な、同一の直線上に位置するという定理が存在します。この定理は、「ソンダーの定理（Sondat's theorem）」として知られています。

対垂という概念は、単純ながらも多くの興味深い幾何学的性質や他の定理（例えばチェバの定理など）との関連を示唆しており、三角形幾何学の研究において重要な位置を占めています。

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