共点

幾何学の分野において、複数の図形や集合が一点を共有する性質は共点性（きょうてんせい、英: concurrency）と呼ばれます。この性質は、図形の配置や関係性を記述する上で基本的な概念の一つです。

最も典型的な例として、三本あるいはそれ以上の直線がすべて同じ一点を通る場合、これらの直線は共点（きょうてん、英: concurrent）であると言われます。この概念は、平面上の直線だけでなく、三次元空間やさらに高次の空間における直線にも適用されます。

射影幾何学における双対性

特に射影幾何学の観点では、共点性は重要な役割を果たします。平面における複数の直線が共点であるという性質（共点線族）は、複数の点が一直線上にある性質（共線点族）と双対の関係にあります。これは、射影平面においては点と直線が互換可能であるという基本的な性質に基づいています。また、三次元空間においては、共点性は共面性（複数の図形が同一平面上にある性質）と双対の関係にあります。具体的には、共点である平面の族は共線である点の族と双対であり、共点である直線の族は共面である直線の族と双対となります。

直線の方程式による共点判定

共点であるかどうかを代数的に判定する方法も存在します。特に、直線が一次方程式で表されることを利用し、線型方程式系の解の理論であるルーシェ–カペリの定理を適用することができます。この定理は、一般的なm元n連立一次方程式系Ax=b（ここでAはm×nの係数行列、xはn次元の未知数ベクトル、bはm次元の定数項ベクトル）について、解が存在するための必要十分条件は係数行列Aの階数（ランク）と拡大係数行列[A|b]の階数が等しいことであると述べます。さらに、解が一意（ただ一つ）であるための必要十分条件は、この共通の階数が未知数の数nに等しいことであると述べています。

これを平面上のk本の直線に適用してみましょう。平面上の直線は、通常、二変数xとyに関する一次方程式 `ax + by = c` の形で表されます。k本の直線の集合が一点を共有するかどうかは、これらk個の一次方程式からなる連立一次方程式系がただ一つの解を持つかどうかに対応します。この連立方程式系における係数行列はk行2列、拡大係数行列はk行3列となります。ルーシェ–カペリの定理によれば、k本の平面直線がただ一つの点（つまり共点）を共有するための必要十分条件は、これらk個の方程式の係数から作られるk行2列の係数行列と、定数項も含めたk行3列の拡大係数行列の階数がともに2であることです。

係数行列と拡大係数行列の階数がともに2であるということは、幾何学的には、与えられたk本の直線を表す方程式のうち、独立な方程式がちょうど二つだけであるということを意味します。平面上の二つの独立な（平行でも一致もせず、一点で交わる）直線は必ずただ一点で交わります。階数が2の場合、他のk-2本の方程式は、これら二つの独立な方程式から線型に従属する関係にあり、幾何学的には、残りの直線もこの二つの直線の交点を通ることを示します。この共通の交点、すなわちk本の直線が共有する一点は、独立な任意二つの直線の方程式を選んで通常の連立一次方程式として解くことで容易に求めることができます。

幾何学においては、共点性に関連する多くの定理が存在します。例えば、三角形の三つの頂点から対辺へ下ろした垂線は一点で交わる（垂心）ことや、三つの中線は一点で交わる（重心）ことなどは、共点性の有名な例です。また、チェバの定理は、三角形とその辺上の点に関する共点性の判定条件を与えるものです。

関連項目として、共線（複数の点が一直線上にあること）、共面（複数の図形が同一平面上にあること）、共円（複数の点が同一円周上にあること）、直線束などが挙げられます。

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