対数一様分布

対数一様分布とは

対数一様分布（log-uniform distribution）は、確率論や統計学で用いられる連続確率分布の一種です。この分布の特異な特徴は、確率密度関数がその逆数に比例する点にあります。このため、別名「逆数分布」(reciprocal distribution)とも呼ばれます。その名の通り、この分布に従う正の確率変数Xについて、自然対数にした変数ln Xが連続一様分布に従うことに由来しています。

定義

対数一様分布の確率密度関数は、以下のように定義されます。

$$
f(x;a,b) = \frac{1}{x[\ln(b) - \ln(a)]} \quad \text{for } a \leq x \leq b \text{ and } a > 0.
$$

ここで、aとbは実数で、この2つの値が分布の範囲を決定するパラメータです。また、lnは自然対数を意味します。この分布の累積分布関数は以下のように表されます。

$$
F(x;a,b) = \frac{\ln(x) - \ln(a)}{\ln(b) - \ln(a)} \quad \text{for } a \leq x \leq b.
$$

このように、対数一様分布の確率密度関数と累積分布関数は、非常にシンプルで扱いやすい形になっています。

特徴

この分布には、連続一様分布との関係が存在します。具体的には、対数一様分布に従う正の確率変数Xに対し、自然対数ln Xは一様に分布します。これは、変数変換のテクニックを使うことで証明できます。もしY=ln Xと定義すると、確率変数の変数変換の手法を用いることで、Yの確率密度関数が適切に変換され、一様分布として扱うことができるのです。

この性質は、対数や指数の底がネイピア数でなくとも成立します。実際に、aやbが1でない任意の実数に対しても同様の関係が成り立ちます。

応用

対数一様分布は、特に数値解析の分野において重要な役割を果たしています。なぜならば、初期に任意の分布を持つ仮数部が、計算機による算術演算（反復的な乗算や除算）を行うことで、最終的には対数一様分布に従うことになるためです。この特性により、対数一様分布は計算機科学やデータサイエンスの分野でも広く応用されています。

以上のように、対数一様分布はその独特な性質と有用性から、様々な分野で重要な役割を果たしています。

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