逆数

逆数について

逆数（ぎゃくすう、英: reciprocal）とは、ある数と掛け算した結果が1になる数のことを指します。つまり、数 x の逆数 y は次のような関係を満たします：

\[ x \times y = 1 \]
\[ y \times x = 1 \]

これにより y が x の逆数であると定義されます。逆数の表記方法は主に2つあります。分数形式では「1/x」と表記し、冪の形では「x⁻¹」となります。また、1は乗法における単位元とされるため、逆数は乗法逆元の一種と見なすことができます。乗法逆元は、一般化された逆数の概念とも言えるでしょう。

先に述べた関係から、数 x と y の役割を入れ替えることも可能であり、x が y の逆数であれば、y もまた x の逆数であると考えられます。重要なことに、x が0の場合、任意の数との積が0になるため、0の逆数は存在しません。このため逆数は、0以外の数に対して常に存在するわけではなく、特に自然数の範囲では唯一の逆数は1自身だけになります。

ただし、0以外の任意の数 x について、逆数が常に存在するのは有理数、実数、複素数といった数の集合です。これらは四則演算が自由に行える集合であり、体（field）と呼ばれます。逆数は乗法における逆元ですが、加法においては反数が対応します。

具体例

次に、逆数の具体例をいくつか示します：

• - 9 の逆数は 1/9 であり、1/9 の逆数は9です。
• - 2/3 の逆数は 3/2 であり、3/2 の逆数は2/3です。
• - 0.3 の逆数は 1/0.3、すなわち 10/3 であり、10/3 の逆数は 3/10（または 0.3）です。
• - −5 の逆数は 1/−5、すなわち −1/5（または −0.2）です。
• - 複素数の逆数も考慮する必要があり、例えば、i の逆数は 1/i（いわゆる i の冪）であり、最終的には −i です。

合同式における逆数

逆数は合同式の文脈でも考えられます。a×b が m で割ったときに1余る場合、b は a の m を法とする逆数と呼ばれます。これは式で表すと次のようになります：

\[ a \times b \equiv 1 \pmod{m} \]

例えば、4 × 2 ≡ 1 (mod 7) が成り立つので、法 7 において 2 は4 の逆数です。

合同式の性質として、逆数の逆数は元の数自身であり、0 の逆数は存在せず、また1や−1の逆数もそれぞれ自身であることが挙げられます。さらに、\( a \) は \( m \) と互いに素の数である必要があります。すなわち、一般的に合同式での逆数は必ずしも存在しないのです。

特に素数を法とした場合、0以外のすべての元に逆数が存在します。法 17 の場合など、すべての元に逆数があることが確認できます。逆数はオイラーの定理によっても計算が可能であり、これによって逆数を求めるメカニズムが示されます。

教育における逆数の位置付け

日本の教育制度では、逆数の概念は小学6年生で学習されます。生徒たちは、ある数 x で割ることとその逆数である1/xを掛けることが同じ結果を生むことを学びます。この学習は、中学校で習う加法における逆元、すなわち負の数に関する理解を深める準備となります。相互に関連しながら、数学の基礎を築く要素として逆数は重要な役割を果たします。

関連項目

逆数を理解するための関連項目として、反比例、単位分数、エジプト式分数、反数、逆元、単位元、吸収元、逆行列、群（数学）、準群及びループがあります。

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