対称関係

対称関係とは？

数学の世界では、集合の要素間の関係性を記述するために「二項関係」という概念が用いられます。二項関係の中でも、特に重要なのが「対称関係」です。対称関係とは、集合Xの要素aとbについて、aとbがある特定の関係Rを持つならば、bとaも必ず同じ関係Rを持つことを意味します。

より厳密に言うと、集合X上の二項関係Rが対称関係であるとは、Xに属する任意の要素aとbに対して、aRbならばbRaが成り立つことを言います。これは、論理記号を用いて次のように表現できます。

∀a, b ∈ X, aRb ⇒ bRa

この式は、「Xに属する全てのaとbについて、aがbと関係Rを持つならば、bもaと関係Rを持つ」という意味です。

対称関係の例

対称関係の分かりやすい例としては、「…と結婚している」という関係が挙げられます。AさんがBさんと結婚しているなら、BさんもAさんと結婚しているのは自明です。この関係は明らかに対称的です。

一方、「…より小さい」という関係は対称関係ではありません。AがBより小さいならば、BはAより小さいとは限りません。このように、対称関係ではない例も数多く存在します。

さらに、等号「=」も対称関係の典型例です。A=Bならば、B=Aが常に成り立ちます。

「Aは奇数であり、かつBも奇数である」という関係も対称関係です。AとBが共に奇数ならば、BとAも共に奇数であることは明らかです。

対称関係と他の関係との違い

対称関係は、反対称関係と混同されがちです。反対称関係とは、aRbかつbRaならばa=bが成り立つ関係です。「≦」や「≧」といった大小関係は反対称関係の例です。

重要なのは、対称関係と反対称関係が互いに逆の概念ではないということです。実際、等号「=」は対称関係であり同時に反対称関係でもあります。一方、「約数である」という関係は、対称関係でも反対称関係でもありません。このように、対称関係と反対称関係は独立した概念であり、両方を満たす関係、一方のみを満たす関係、そしてどちらも満たさない関係が存在します。

同値関係との関連性

対称関係は、同値関係と密接に関連しています。同値関係とは、反射的、対称的、推移的な関係のことです。反射的とは、任意の要素aに対してaRaが成り立つことを意味し、推移的とは、aRbかつbRcならばaRcが成り立つことを意味します。

同値関係は、集合を同値類に分割する際に重要な役割を果たします。例えば、合同式における合同関係は同値関係であり、この関係を用いることで、整数を剰余類に分類することができます。

まとめ

対称関係は、数学における基本的な概念であり、様々な分野で応用されています。本稿では、対称関係の定義、例、そして関連する概念との違いについて解説しました。これらの概念を理解することで、数学的な思考を深めることができるでしょう。

もう一度検索