同値関係

同値関係：集合を分割する関係

数学において、同値関係は集合の要素間の関係を記述する基本的な概念です。直感的には、同値関係にある要素は、ある観点から見て「同じ」とみなせることを意味します。例えば、整数の合同関係（ある数で割った余りが同じ）や、図形の合同関係（形状と大きさが同じ）などが同値関係の例として挙げられます。

同値関係の定義

集合 S 上の二項関係 ∼ が同値関係であるとは、以下の3つの性質をすべて満たすことをいいます。これらの性質をまとめて同値律と呼ぶこともあります。S の任意の元 a, b, c について、

1. 反射律: a ∼ a （すべての元は自分自身と同値）
2. 対称律: a ∼ b ならば b ∼ a （一方の元が他方と同値ならば、逆もまた同値）
3. 推移律: a ∼ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c （2つの元がそれぞれ3つ目の元と同値ならば、最初の2つの元も同値）

同値関係にあることを示す記号は、文献によって `a ~ b`、`a ≡ b`、`aRb` など様々です。

同値関係の例

同値関係は様々な場面で見られます。以下に具体例を挙げます。

相等関係 (=): 最も基本的な同値関係で、値が完全に一致することを意味します。
図形の合同関係: 大きさと形が一致する図形同士の関係。位置や向きは考慮しません。
図形の相似関係: 形が同じで、大きさが異なる図形同士の関係。
直線の平行関係: 交わらないまたは一致する直線同士の関係。
量の比例関係: 比率が等しい量同士の関係。
整数の合同関係: ある整数で割ったときの余りが等しい整数同士の関係。例えば、3で割った余りが1である整数同士は同値関係にあります。
集合の濃度の対等: 集合の要素数が同じである集合同士の関係。
命題の同値: 真偽値が同じである命題同士の関係。

同値類

集合 S 上に同値関係 ∼ が定義されているとき、S の元 a に対して、a と同値なすべての元を集めた集合を、a を代表元とする同値類と呼びます。これは `[a] = {x ∈ S | a ∼ x}` と表されます。同値類は、その代表元をどのように選んでも、集合としては同一になります。

同値関係は、集合 S を互いに素な同値類に分割します。つまり、S のすべての元はただ一つの同値類に属し、異なる同値類は共通の要素を持ちません。

商集合

同値関係 ∼ による同値類全体の集合を、集合 S の ∼ による商集合と呼び、S/∼ と表記します。商集合は、同値関係によって集合 S を「つぶした」集合と考えることができます。

S から S/∼ への自然な写像 π: S → S/∼ ( x ↦ [x]) を標準射影と呼びます。この写像は全射（全ての元が少なくとも1つの元に写像される）ですが、一般的には単射（異なる元が異なる元に写像される）ではありません。

同値核

写像 f: X → Y に対して、x ∼ y ⇔ f( x) = f( y) で定義される関係 ∼ は同値関係になります。この関係を写像 f の同値核と呼びます。同値核は、写像によって同じ値に写される元同士の関係を捉えています。

同値関係と類別

集合 S の類別（または分割）とは、S を互いに素な空でない部分[[集合]]の集まりに分割することです。同値関係は、集合を類別する方法を与えます。逆に、任意の類別に対して、対応する同値関係を定義することができます。

他の二項関係との関係

同値関係は、半順序関係、前順序関係、合同関係など、他の二項関係と密接に関連しています。これらの関係間の性質を理解することで、同値関係の理解を深めることができます。

まとめ

同値関係は、集合の要素間の関係を定義する強力なツールです。数学の様々な分野で用いられ、特に代数学や位相幾何学において重要な役割を果たします。同値関係の性質や関連概念を理解することで、数学的な対象の構造や性質をより深く理解することができます。

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