射影変換

射影変換

射影変換とは、数学の一分野である射影幾何学において中心的な役割を果たす変換概念です。これは、射影空間と呼ばれる特殊な構造を持つ空間の「形」や「つながり」を保つ同型写像として定義されます。

射影空間とその構造

射影変換を理解するには、まず射影空間とは何かを知る必要があります。体 k の上の n 次元射影空間 Pⁿ(k) は、より馴染み深いベクトル空間から構築されます。具体的には、(n+1)次元のベクトル空間 V = kⁿ⁺¹ を考えます。このベクトル空間 V の零ベクトルを除く全ての非零ベクトルに対して、体 k の乗法群 k によるスカラー倍で互いに移り合うベクトル全てを一つの「点」とみなしたものが、射影空間 Pⁿ(k) の点となります。

数学的には、Pⁿ(k) は、ベクトル空間 kⁿ⁺¹ から原点 {0} を除いた集合 kⁿ⁺¹ \ {0} を、体 k の非零元 λ ∈ k によるスカラー倍の同値関係 v ~ λv で割った商空間 (kⁿ⁺¹ \ {0}) / k として定義されます。つまり、射影空間上の点は、原点を通る直線（1次元部分空間）に対応すると考えることができます。この構成により、射影空間は通常のユークリッド空間とは異なる独特な幾何学的性質を持ちます。

射影変換の定義

射影空間 Pⁿ(k) 上の射影変換は、この空間からそれ自身への同型写像です。これは、基礎となるベクトル空間 V = kⁿ⁺¹ の同型写像（線形同型写像）f から自然に誘導されます。

ベクトル空間 V の同型写像 f : V → V は、線形性 f(αv + βw) = αf(v) + βf(w) を持ち、全単射（逆写像が存在する）です。このような線形同型写像 f は、零ベクトルを零ベクトルに写し、したがって非零ベクトルを必ず非零ベクトルに写します。この性質から、射影空間 Pⁿ(k) 上の点 [v] （ただし v ∈ V \ {0}）に対して、その像を [f(v)] と定義することができます。線形同型写像はスカラー倍と可換であるため、f(λv) = λf(v) が成り立ちます。これにより、点 [v] の代表元 v を λv (λ ∈ k) に変えても、像 [f(λv)] = [λf(v)] = [f(v)] となり、写像の定義が代表元の選び方によらないこと（well-defined）が保証されます。

このように、ベクトル空間の線形同型写像 f から誘導される Pⁿ(k) から Pⁿ(k) への写像 [v] ↦ [f(v)] が、射影空間の構造（点の共線性など）を保つ同型写像、すなわち射影変換となるのです。

図学的意味との関連

射影変換が図学における「中心投影」に相当するという側面は、この概念の理解を深める上で重要です。中心投影とは、ある一点（投影中心）から発せられる光線を仮定し、対象となる物体上の点と投影中心を結ぶ直線が、特定の平面（投影面）と交わる点を、物体の点の像とするような投影法です。

例えば、三次元空間内の点を二次元平面に投影する際に、一点を基準として行われる透視投影は、まさに射影変換の一例として捉えることができます。この投影によって、物体の大きさや形は変わりますが、例えば一直線上にあった点は投影後も一直線上にあります。このような「共線関係」のような、射影空間の基本的な幾何学的性質が、射影変換によって不変に保たれるのです。この性質が、遠近法を用いた絵画や、建築物のパース図、さらにはコンピュータグラフィックスやコンピュータビジョンにおける三次元図形の扱いに応用されています。

具体例と関連概念

射影変換の具体例としては、複素数体 C 上の1次元射影空間 CP¹（これはトポロジー的には球面、リーマン球面と同相です）上の「一次分数変換」がよく知られています。これは、複素変数 z に対する変換 w = (az+b)/(cz+d) で、ad-bc ≠ 0 を満たすものです。このような一次分数変換は、CP¹ 上の射影変換全体の集合をなします。

射影変換の全体は、写像の合成に関して群をなします。これを「射影変換群」と呼びます。射影変換群は、射影幾何学において研究される主要な対象の一つであり、この群のもとで不変となる性質（例えば、交比など）を調べることが、射影幾何学の重要なテーマとなっています。

まとめ

射影変換は、射影空間の同型写像であり、基礎となるベクトル空間の線形同型写像から誘導される幾何学的変換です。図学的な中心投影に相当し、共線関係などの射影空間の基本的な性質を保ちます。一次分数変換はその具体例であり、射影変換全体の集まりは射影変換群を形成します。これらの概念は、理論幾何学のみならず、応用分野においても重要な役割を果たしています。

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