リーマン球面

リーマン球面：無限遠点を含む複素平面の拡張

リーマン球面とは、複素数平面に[無限遠点]]∞を加えることで拡張した幾何学的対象です。19世紀の数学者ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられ、複素射影直線(CP1)や拡張[[複素平面]とも呼ばれます。

拡張複素数と演算

リーマン球面は、複素数Cと無限遠点∞からなる拡張複素数の集合で表現されます。この集合上での演算は、通常の複素数の演算を拡張したもので、以下のようになります。

加法: z + ∞ = ∞ (任意の複素数zについて)
乗法: z ⋅ ∞ = ∞ (任意の0でない複素数zについて), ∞ ⋅ ∞ = ∞
* 除法: z/0 = ∞, z/∞ = 0 (任意の0でない複素数zについて)

ただし、∞ + ∞, ∞ - ∞, 0 ⋅ ∞, 0/0, ∞/∞は未定義です。このため、拡張複素数は体(field)を成しません。

有理関数

任意の有理関数 f(z) = g(z)/h(z) (g(z), h(z)は複素係数の多項式で共通因数を持たない)は、リーマン球面上の連続関数に拡張できます。分母h(z0)が0で分子g(z0)が0でない複素数z0に対してはf(z0) = ∞と定義し、f(∞)はz→∞におけるf(z)の極限として定義します。

例えば、f(z) = (6z²+1)/(2z²-50) は z=5 で分母が0なので f(5) = ∞ と定義され、z→∞ では f(z)→3 なので f(∞) = 3 と定義できます。これにより、f(z)はリーマン球面からそれ自身への連続関数になります。

複素多様体としてのリーマン球面

リーマン球面は、1次元複素多様体として、2つの局所座標系 ζ と ξ (共に複素平面C上の座標) で記述できます。これらは推移写像 ζ = 1/ξ で関係付けられ、この写像が正則であることからリーマン球面という複素多様体が定義されます。直感的には、2つの複素平面を「表裏反対」に貼り合わせて球面を構成しているイメージです。

位相幾何学的には、リーマン球面は平面を一点コンパクト化して球面にしたものと見なすことができます。しかし、単なる位相的球面ではなく、上手く定義された複素構造を持つ球面です。任意の点はCと正則同相な近傍を持ちます。一意化定理により、単連結な1次元複素多様体は複素平面、双曲平面、リーマン球面のいずれかのみです。リーマン球面は閉曲面（境界がないコンパクト曲面）として唯一の存在です。

複素射影直線としてのリーマン球面

リーマン球面は、複素射影直線としても定義できます。これは、(α, β)と(α', β')を双方が0でない複素数の対とし、任意の非零複素数λによって同値関係 (α, β)~(λα, λβ) を定義し、このような対全体の集合に関して商をとった空間です。座標ζを持つ複素平面Cは(1, ζ)により、座標ξを持つ複素平面Cは(ξ, 1)により複素射影直線に写像され、非零なξ, ζに対してζ = 1/ξという関係が成り立ちます。この表現を使うと、リーマン球面は射影幾何学と容易に関連付けられます。

球面としてのリーマン球面

リーマン球面は、3次元実空間R³内の単位球面S² = {(x, y, z)∈R³ | x²+y²+z²=1}として視覚化できます。単位球面から平面z=0への立体射影を用いることで、複素平面と同一視します。立体射影により、ζ = x + iy, ξ = x - iy という2つの複素座標系が得られ、やはりζ = 1/ξという関係が成り立ちます。この同一視は、球面上の向きを整合的に保つため、複素共役を用いることで正則性を保証します。

計量

リーマン球面には標準的なリーマン計量は存在しませんが、複素構造から一意的に（等角同値を除いて）計量が決定されます。特に、定曲率の完備な計量が常に存在し、ガウス・ボンネの定理より正の曲率Kを持つことが分かります。K=1の計量は、ζ-局所座標系では ds² = 4|dζ|²/(1+|ζ|²)² と表せます。この計量は、複素射影空間のフビニ・スタディー計量と一致し、円形計量に共形同値です。リーマン球面自体はリーマン多様体ではなく共形多様体ですが、リーマン幾何学を扱う際には円形計量が自然な選択となります。

自己同型

リーマン球面の自己同型は、リーマン球面から自身への可逆な双正則写像であり、一次分数変換(メビウス変換)のみであることが知られています。一次分数変換は、a, b, c, dを複素数でad-bc≠0を満たすものとして、ζ → (aζ+b)/(cζ+d) の形に書かれます。一次分数変換全体は、射影線型変換群PGL2(C)に一致します。フビニ・スタディー計量を入れた場合、全ての一次分数変換が等長変換とは限りません。等長変換全体は、回転群SO(3)と同型な部分群PSU2を形成します。

応用

リーマン球面は複素解析において、有理型関数の理論で重要な役割を果たします。また、量子力学では光子の偏光状態やスピン1/2粒子のスピン状態などを記述するのに用いられ、天球の相対論的モデル、弦理論、ツイスター理論など物理学の様々な分野で応用されています。

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