小反屈変形二十・二十・十二面体

小反屈変形二十・二十・十二面体とは？

小反屈変形二十・二十・十二面体 (Small retrosnub icosicosidodecahedron) は、数学における幾何学、特に多面体の分野で研究される図形の一つです。その名は示す通り、非常に複雑な構造を持っており、一見してその形状を把握するのは容易ではありません。一様多面体と呼ばれるカテゴリーに属し、各面は全て正多角形ではありませんが、頂点形状は一様で、規則性があります。

この多面体は、正三角形と星型五角形から構成されます。正確には、正三角形が100枚、正五角形（正確には星型五角形）が12枚の計112枚の面を持ちます。 正三角形の中には重なり合う部分があり、2枚重なったものが20組存在し、残りの60枚は他の面と重なり合いません。辺の数は180、頂点の数は60あります。各頂点には、3つの正三角形と1つの星型五角形が集まり、この配置が全体に渡って一様に繰り返されています。

頂点形状を記述する際には、(3.5/3)/2という表記が用いられます。これは、各頂点に3枚の正三角形と1枚の星型五角形が集まっていることを示しており、括弧内の数字は面の形状と数を、/2は立体構造における対称性を示す記号です。ワイソフ記号 | 3/2 3/2 5/2 は、この多面体の構成方法を簡潔に表す記号で、多面体の専門家の間では広く用いられています。

小反屈変形二十・二十・十二面体の枠組みに着目すると、切頂十二面体と類似した構造が見られます。しかし、小反屈変形二十・二十・十二面体の面は、正確には正多角形ではなくわずかに歪んだ形をしています。この微妙な歪みが、この多面体の複雑さと美しさの重要な要素となっています。

さらに、この多面体には双対多面体があります。双対多面体とは、元の多面体の各面の中心を頂点とし、元の多面体の各頂点を面の中心とした新たな多面体のことです。小反屈変形二十・二十・十二面体の双対多面体は、「Small hexagrammic hexecontahedron（小六角六面体）」と呼ばれています。この双対多面体もまた、非常に複雑な構造を持つ多面体です。

小反屈変形二十・二十・十二面体は、その複雑さと幾何学的対称性の美しさから、数学や幾何学を専門とする研究者や愛好家の間で知られており、コンピュータグラフィックスや幾何学アートの分野でも利用されています。小変形二十・二十・十二面体など、類似した性質を持つ多面体も存在し、それらとの比較研究も盛んです。これらの多面体の性質を理解することは、多面体の理論を深く理解することに繋がる重要なステップとなります。

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