双対多面体

双対多面体とは？

双対多面体とは、ある多面体の頂点と面を入れ替えることで得られる多面体です。元の多面体の各面の中心を新しい頂点とし、隣り合う面の中心を辺で結び、それらの辺で囲まれた図形を新たな面と考えることで、双対多面体が構成されます。この操作において、長さや角度といった計量的な情報は考慮せず、頂点、辺、面の接続関係（トポロジー）のみが重要となります。3次元空間における双対多胞体の一種であり、文脈が明らかな場合は単に「双対」と呼ばれることもあります。重要な性質として、ある多面体の双対多面体の双対をとると、元の多面体に戻ることが挙げられます。また、自身と双対である多面体を自己双対多面体と呼びます。

正多面体の双対

正多面体の双対もまた正多面体になります。具体的な対応関係は以下の通りです。

正四面体 ⇔ 正四面体 (自己双対)
正六面体 ⇔ 正八面体
正十二面体 ⇔ 正二[[十面体]]

正多面体以外にも、星型正多面体、ねじれ正[[多面体]]、平面充填形などについても、同様の双対関係が成立します。例えば、

小星型十二面体 ⇔ 大十二面体
大星型十二面体 ⇔ 大二[[十面体]]
正三角形による平面充填形 ⇔ 正六角形による平面充填形
正方形による平面充填形 ⇔ 正方形による平面充填形 (自己双対)

といった対応関係が知られています。

半正[[多面体]]の双対

半正[[多面体]]の双対は、アルキメデス双対またはカタランの[[立体]]と呼ばれます。アルキメデス双対は、単に半正[[多面体]]の面の中心を結んで得られる立体ではなく、その面の中心を結ぶことで元の半正[[多面体]]となるような立体を指します。アルキメデス双対は、全ての面が合同であり、全ての二面角が等しいという性質を持っています。

切頂n面体の双対は、p方m面体と呼ばれ、元の正n面体の双対である正m面体の各面の中心を持ち上げたような形をしています。具体的な例として、

切頂四面体 ⇔ 三方四面体
切頂六面体 ⇔ 三方[[八面体]]
切頂八面体 ⇔ 四方六面体
切頂十二面体 ⇔ 三方[[二[[十面体]]]]
切頂二[[十面体]] ⇔ 五方[[十二面体]]

などが挙げられます。その他にも、多くの半正[[多面体]]とその双対の関係が知られています。凸でない一様[[多面体]]についても、双対を定義することができ、その双対は元の立体の枠の双対の星型となります。

角柱と反角柱の双対

角柱の双対は双角錐（重角錐、両角錐）になります。

三角柱 ⇔ 双三[[角錐]]
四角柱 ⇔ 双四角錐 (特別な場合として立方体 ⇔ 正八面体)
五角柱 ⇔ 双五[[角錐]]

アルキメデスの正角柱は、底面の正多角形の辺数が増えるにつれて細長くなっていきます。一方、反角柱の双対はねじれ双[[角錐]]となり、その面は凧形となります。

反三角柱 ⇔ ねじれ双三[[角錐]] (特別な場合として正八面体 ⇔ 立方体)
反四角柱 ⇔ ねじれ双四角錐
反五角柱 ⇔ ねじれ双五[[角錐]]

アルキメデスの反角柱も、底面の正多角形の辺数が増えるにつれて細長くなっていきます。

まとめ

双対多面体は、多面体の幾何学的性質を理解する上で重要な概念です。正多面体から複雑な多面体まで、様々な多面体とその双対の関係を理解することで、多面体の構造や性質への洞察を深めることができます。

もう一度検索