尖度

尖度（Kurtosis）

尖度（せんど、英: kurtosis）は、確率変数の確率密度関数や頻度分布の鋭さを示す統計的な指標です。尖度の値によって、分布の形状がどのように変化するかが示されます。具体的には、正規分布と比較して尖度が大きい場合、分布は鋭いピークを持ち、裾が長くなる傾向があります。一方、尖度が小さい場合は、ピークは丸みを帯び、裾が短くなることを示します。日本産業規格では、尖度は平均周りの4次のモーメントであるμ4に対する標準偏差σの4乗で定義されています。このように、尖度は分布の特性を理解するための重要な要素となります。

尖度の定義

尖度には大きく分けて2種類の定義があります。1つ目は、4次の標準化モーメントであるμ4/σ4から3を引いたもので、これは正規分布の尖度を0とする考え方です。2つ目は、4次の標準化モーメントそのものを用い、正規分布の尖度を3とする定義です。この2つの定義の違いは、尖度が正規分布からどれだけ乖離しているかを見極めるために利用されます。一般に、統計ソフトウェアや学術的な文献では、正規分布の尖度を0とする定義が用いられることが多いです。

もちろん、Excelなどの分析ツールもこの基準を採用しており、東京大学出版会の「統計学入門」やNumerical Recipesなども正規分布の尖度が0として尖度を定義しています。

モーメントによる尖度の計算

確率変数Xの分布関数をF(X)とし、平均値をμ、r次のモーメントをμr とすると、尖度（β2）は以下の通り計算されます。

• - 正規分布の尖度を0とする定義では、

β2 = (μ4 / (μ2)2) - 3

• - 正規分布の尖度を3とする定義では、

β2 = μ4 / (μ2)2

このように、尖度は確率分布の形状を定量的に評価する重要な指標です。

キュムラントによる定義

確率変数Xのキュムラントをκrとしたとき、尖度（β2）は次のように定義されます。

• - 正規分布の尖度を0とする定義:

β2 = κ4 / (κ2)2

• - 正規分布の尖度を3とする定義:

β2 = (κ4 / (κ2)2) + 3

これにより、キュムラントを用いることで尖度を計算する新たな視点が得られます。

実際の計算例

正規分布における尖度を計算するためには、モーメント母関数MX(t)のキュムラント母関数を利用します。

この場合、κ1、κ2、及びそれ以降のキュムラントを以下のように導出します。

• - κ1 = μ
• - κ2 = σ
• - κr = 0 (r ≥ 3)

このことから、正規分布の尖度はβ2 = 0または3となり、正規分布の特性が明らかになります。

尖度の重要性

尖度の値は、特に金融やリスク管理において重要な指標となります。裾が重い場合、リスクの高い事象が発生する可能性が高まるため、尖度が高いことは注意が必要です。例えば、株式市場においては、尖度が高い分布が観察されることで、通常のリターンの範囲外での大きな損失リスクが示唆されます。

尖度の評価

分布の尖度は、すべてのデータが正規分布に従うという前提に立つことが多いため、複雑なデータセットの解析においても有用です。特に、標本から母集団の尖度を推定する際には、標本の大きさnに基づく不偏推定量を用いて計算する方法が一般的です。

これにより、母集団の尖度をより正確に反映することができます。したがって、尖度はデータの背後に潜む特性を理解するための不可欠なツールと言えるでしょう。

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