崩壊定数

崩壊定数：放射性物質の崩壊速度

崩壊定数とは、放射性物質が単位時間あたりに崩壊する確率を表す物理量です。原子核物理学や素粒子物理学において、放射性物質の挙動を記述する上で重要な役割を果たします。本記事では、崩壊定数の定義、半減期や平均寿命との関係、微分方程式を用いた表現、具体的な計算例、そして実験的な測定方法について解説します。

崩壊定数の定義と半減期、平均寿命との関係

崩壊定数λは、微小時間dtの間に原子核が崩壊する確率をλdtと表したときのλとして定義されます。つまり、λが大きいほど、単位時間あたりに崩壊する確率が高く、物質の崩壊が速いことを意味します。

崩壊定数は、半減期T₁/₂と以下の関係にあります。


λ = ln2 / T₁/₂


ここで、ln2は自然対数の底eの2を底とする対数です。この式からわかるように、崩壊定数と半減期は反比例の関係にあり、半減期が短い物質ほど、崩壊定数は大きくなります。

また、平均寿命τは崩壊定数の逆数で表されます。


τ = 1/λ


平均寿命は、ある原子核が崩壊するまでの平均的な時間を表します。

微分方程式による崩壊定数の表現

放射性物質の崩壊過程は、以下の微分方程式で記述できます。


dN/dt = -λN


ここで、Nは時刻tにおける原子核の数です。この式は、単位時間あたりの原子核数の減少が、現在の原子核数Nに比例することを示しています。この比例定数が、崩壊定数λです。この微分方程式を解くと、以下の式が得られます。


N(t) = N₀e⁻λt


ここで、N₀は時刻t=0における原子核の数です。この式は、放射性物質の原子核数が指数関数的に減少することを示しています。

具体的な計算例：プルトニウム239

プルトニウム239の半減期は約24000年です。この値を用いて、崩壊定数を計算すると、以下のようになります。


λ = ln2 / 24000年 ≈ 2.89 × 10⁻⁵ 年⁻¹


この崩壊定数は、1秒間に1個のプルトニウム239が崩壊する確率を表していると解釈できます。

実験による崩壊定数の測定

崩壊定数は、実験的に測定することも可能です。ある放射性同位体の放射線を計測し、その計数率（単位時間あたりのカウント数）を時間とともに測定します。計数率は、以下の式で表されます。


計数率 ∝ e⁻λt


この式の両辺の常用対数を取ると、


log₁₀(計数率) = -0.4343λt + const.


となり、時間tを横軸、計数率の常用対数をとった値を縦軸にプロットすると、直線関係が得られます。この直線の傾きから、崩壊定数λを求めることができます。

まとめ

崩壊定数は、放射性物質の崩壊速度を特徴づける重要な物理量です。半減期や平均寿命との関係、微分方程式による表現、具体的な計算例、そして実験的な測定方法を理解することで、放射性物質の挙動をより深く理解することができます。 本記事で説明した内容は、放射線や原子核物理学を学ぶ上で基礎となる重要な知識です。

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