巡回数

巡回数について

巡回数（じゅんかいすう、英: cyclic Number）とは、ある整数が2倍、3倍、4倍といった乗算を行った際に、各桁の数字がその順序を崩さずに「巡回」して変化する整数のことを指します。このような性質を持つ数は「ダイヤル数」とも呼ばれています。

代表的な例

一例として、142857という数を考えてみましょう。この数についての乗算を示すと、以下のようになります：

• - 142857 × 1 = 142857
• - 142857 × 2 = 285714
• - 142857 × 3 = 428571
• - 142857 × 4 = 571428
• - 142857 × 5 = 714285
• - 142857 × 6 = 857142
• - 142857 × 7 = 999999

このように、1から6倍までの計算では、桁数の順序が変わることなく、異なる数が得られます。
最後の式で得られる999999が示すのは、142857が1/7の循環小数0.142857142857...に関連していることです。この循環小数を7倍すると1に達することもポイントです。

その他の巡回数

142857以外にも、588235294117647や52631578947368421、434782608695652173913といった数も巡回数に分類されます。特に、オンライン整数列大辞典の数列A180340によってこれらの数が示されています。

性質

一般的に、すべての巡回数はある特定の単位分数を小数として表した際に、その循環部分となることが証明されています。注目すべき点は、巡回数のもとになる単位分数の分母が必ず素数であるということですが、その逆は成り立ちません。さらに、あるp-1桁未満の9の列がpで割り切れる場合、素数pからは巡回数は得られない事実もあります。

循環節の条件

素数pの逆数1/pが巡回数になるための必要条件として、その循環部分がp-1桁でなければなりません。この条件を満たす素数には、7や17、19などがあります。合同算術における10がmod pにおける原始根であることとも関係があります。

規則性の崩れ

142857の8倍以上になると、数字の規則性は崩れるかのように見えますが、先頭の桁を切り取り末尾に加えると、再び規則性が保たれるのです。例えば、142857 × 8 = 1142856の場合、先頭の1を末尾の6に加えることで再び142857に戻ります。
このように、巡回数の性質は他の数字でも同様に適用できます。

異なる進法での巡回数

巡回数は十進法以外でも存在します。例えば、二進法での0011（=3）は巡回数となります。また、五進法の032412（=2232）や、十二進法の2497（=4147）も巡回数です。英数字表記においては、特定の計算を行うことでこれらの巡回数が得られます。

結論

巡回数は数の特性を理解する上で興味深いテーマであり、様々な数的現象と関連しています。これに関するさらなる情報は、数学関連の文献やオンラインリソースで学ぶことができます。

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