巨大基数

巨大基数とは

巨大基数とは、数学の集合論において、超限基数の中でも特に大きな性質を持つものを指します。これらの基数は、その名の通り非常に「大きい」もので、例えば、α=ω^αを満たすような最小の基数αよりもさらに大きいものが存在します。

ZFCからの独立性

巨大基数の存在は、集合論における最も標準的な公理系であるZFC（ツェルメロ＝フレンケルの公理系に選択公理を加えたもの）からは証明できません。このことから、巨大基数の存在を仮定することは、ZFCを超える何らかの追加の仮定を必要とすることを示しています。これは、集合論における公理系の「強さ」を測る上で重要な指標となります。

無矛盾性の尺度

デイナ・スコットが述べたように、巨大基数的性質は「より多くを求めるなら、より多くを仮定しなければならない」という事実を定量的に表現しています。つまり、巨大基数の存在を仮定することで、より強力な数学的定理を導き出すことができる一方で、それだけ多くの仮定が必要になることを意味します。

巨大基数公理

巨大基数公理とは、巨大基数的性質を持つ基数が少なくとも一つ以上存在すると主張する公理です。集合論学者の間では、既知の巨大基数公理はZFCと無矛盾であると広く信じられています。しかし、これらの公理を仮定すると、ZFC自体の無矛盾性を証明できるため、ゲーデルの第二不完全性定理により、「ZFC＋巨大基数公理」の無矛盾性をZFCの範囲内で証明することは不可能となります。

巨大基数的性質

巨大基数的性質とは何かという正確な定義は存在しませんが、一般には、巨大基数の一覧に掲載されているものが巨大基数であると認識されています。必要条件としては、その基数の存在がZFCと矛盾しないこと、かつZFCの無矛盾性を仮定した場合に、「そのような基数は存在しない」という主張も無矛盾であることが挙げられます。

無矛盾性の強さの階層

巨大基数公理に関する重要な知見の一つに、それらが無矛盾性の強さに関して厳密な線形順序に従うという経験則があります。これは、2つの異なる巨大基数公理A1とA2について、以下のいずれか一つが成立するというものです。

1. ZFCから「ZFC+A1が無矛盾であること」と「ZFC+A2が無矛盾であること」が同値であることが証明される。（この場合、A1とA2は無矛盾性同値）
2. ZFC+A1からZFC+A2が無矛盾であることが証明される。（この場合、A1はA2よりも無矛盾性が強い）
3. ZFC+A2からZFC+A1が無矛盾であることが証明される。（この場合、A2はA1よりも無矛盾性が強い）

この経験則は、巨大基数公理が無矛盾性の強さによって段階的に整理できることを示唆しています。ただし、これはあくまで経験則であり、証明された定理ではありません。また、個々の巨大基数公理の関係性については、まだ全てが解明されているわけではありません。

無矛盾性の強さと最小の証人

無矛盾性の強さの順序と、巨大基数公理を満たす最小の基数のサイズは必ずしも一致しません。例えば、膨大基数は超コンパクト基数よりも無矛盾性の強さが遥かに大きいですが、最初の膨大基数は最初の超コンパクト基数よりも小さいことがあります。

動機と認識論的状況

巨大基数は、フォン・ノイマン宇宙V（集合の冪集合を反復して得られる階層構造）の文脈で理解されます。巨大基数公理が成り立たないモデルは、巨大基数公理が成り立つモデルの部分モデルとなることが多く、巨大基数の存在を否定することは、研究対象となる集合を制限することにつながると考える集合論学者もいます。

カバル学派の立場

多くの集合論学者（特にカバル学派の影響を受けた人々）は、巨大基数公理を、「考えてしかるべき」集合を全て考えていると主張するものだと捉えています。彼らは、巨大基数公理から得られる結果が自然なパターンに落ち着くように見えるという理由から、これらの公理に特別な重要性を認めています。中には、巨大基数公理を「真」であると考える実在論者もいます。

その他の立場

一方で、形式主義者は、標準的な集合論はZFCの結果を研究することに重点を置くべきであり、巨大基数を特別視する必要はないと主張します。また、実在論者の中にも、本体論的極大主義を認めず、巨大基数公理を偽であると考える人々もいます。さらに、巨大基数公理の否定が制限的であることすら否定する立場も存在します。

まとめ

巨大基数は、集合論における重要な概念であり、その存在はZFCからは独立です。巨大基数公理を仮定することで、より強力な定理を導くことができる一方で、無矛盾性の強さを測る上でも重要な役割を果たします。巨大基数に関する研究は、集合論の基礎を深く理解するために不可欠なものであり、今後も活発に研究が進められることが期待されます。

参考文献

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Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition.
Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings.
Kanamori, Akihiro; Magidor, M. (1978), “The evolution of large cardinal axioms in set theory”.
Maddy, Penelope (1988). “Believing the Axioms, I”.
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* Solovay, Robert M.; William N. Reinhardt, and en:Akihiro Kanamori (1978). “Strong axioms of infinity and elementary embeddings”.

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