有限体積法

有限体積法（Finite Volume Method, FVM）

有限体積法は、数値解析において、物理現象をシミュレーションするための重要な手法の一つです。この方法は、解析対象となる領域を有限個の小さなコントロールボリューム（またはセル）に分割し、各ボリューム内で物理量の保存則を適用することで、数値解を求めます。

概要

有限体積法は、有限差分法と有限要素法の両方の特徴を兼ね備えていると評価できます。解析領域は、セルと呼ばれる小領域に分割され、各セルの格子点を中心としたコントロールボリュームが定義されます。そして、有限要素法と同様に、重み付き残差法を用いて離散化が行われます。しかし、有限体積法では、各コントロールボリュームにおいて重み関数を1として、重み付き残差式を離散化するという特徴があります。

具体的には、以下の式で示されるように、コントロールボリュームDe内で関数f(u)の積分を行います。

∫De u* f(u) dΩ = ∫De f(u) dΩ = 0

この積分によって、各コントロールボリューム内での物理量の保存が保証されます。

長所

有限体積法の主な利点は以下の通りです。

1. 保存性の確保: コントロールボリュームで保存方程式を積分するため、積分領域内での物理量保存が厳密に満たされます。また、コントロールボリュームが重ならない限り、領域全体での保存性も保証されます。
2. 柔軟な形状対応: 非構造格子を含む、あらゆるタイプの計算格子に対応できるため、複雑な形状の領域でも解析が可能です。これにより、様々な形状の対象物に対して、柔軟にシミュレーションが行えます。
3. 計算効率: 微分の近似に中点公式を用いることで、離散化が簡便になります。特に構造格子の場合、有限差分法と同等の代数方程式が導かれることがあり、有限要素法と比較して計算時間が短縮される傾向があります。

短所

一方で、有限体積法には以下のような短所も存在します。

1. 高次精度化の困難性: 有限体積法は、補間、微分、積分の3段階の近似プロセスを必要とするため、特に3次元において、2次精度よりも高い精度を実現するのが難しいという課題があります。

微分近似

有限体積法では、微分の近似に中点公式（または中点差分近似）が用いられることが一般的です。

df/dx ≃ (f(x+h) − f(x−h)) / 2h (h << 1)

この近似により、計算が比較的簡単に行える一方で、高精度な計算には工夫が必要です。

参考文献

• - Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method, in Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• - LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, en:Cambridge University Press.

有限体積法は、その柔軟性と計算効率の良さから、多くの分野で活用されている数値解析手法です。特に流体解析においては、標準的な離散化手法として広く採用されています。

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