弱い素数

弱い素数についての詳細



定義


弱い素数（英: delicate prime、または weakly prime number）とは、特定の素数であり、その数を構成するいずれかの数字を変更すると合成数になる性質を持つものを指します。つまり、弱い素数は自身の数字のうち一つを他の数字に置き換えると、必ず合成数に変わってしまうのです。

例えば、294001は素数ですが、その数字の一部を他の数字に変えると、全て合成数になります。具体的には、294001を構成する数字の一つを含む54パターンの数字（たとえば、94001, 194001, 394001など）は全て合成数となり、これにより294001が弱い素数であることが確認できます。

歴史


この概念は1978年にMurray S. Klamkinによって提案されました。彼は、そうした数字が存在するか否かを問いかけました。その後、著名な数学者ポール・エルデシュが、どの基数においても無限の弱い素数が存在することを証明しました。

さらに2007年には、Jens Kruse Andersenが1000桁の弱い素数を発見しました。これは、特定の式を用いて算出された最大の弱い素数であり、2011年時点でもその記録は更新されていません。

具体例


基数2から10に及ぶ弱い素数の例として、十進法の場合、小さい順に以下のような数があります。


これらは、いずれも数字の一部分を変更すると合成数に変わるため、弱い素数とされます。また、最初の桁を0にしない条件を設けた場合、929573が最小の弱い素数となります。929573の最初の数字を0にすると、29573になりますが、これは素数です。この数以外は、929573の数字を変更すると合成数になります。

極端に弱い素数


さらに、極端に弱い素数（英: extreme weakly prime number）という分類もあります。これは、数字の一部を取り除いたり、新しい数字を挿入した場合にも、必ず合成数になる性質を持つ素数です。例えば、40144044691はこの例に該当します。

この数字のいずれかの数字を取り除いても、あるいはどこかに1つ数を挿入しても合成数になります。極端に弱い素数も、小さい順に40144044691、58058453543、89797181359などが確認されています。

符号化された双子素数


弱い素数としての双子素数の組も存在し、その組み合わせは次のようになります。


これらは小さい順に列挙したもので、双方の数が弱い素数であることを示しています。

まとめ


弱い素数の概念は、数字の置き換えによって合成数に変わる特性を持つ素数に関連した、興味深い分野です。数学者たちによる研究は続いており、その中には極端に弱い素数や双子素数など、多様な応用や理論が広がっています。

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