後続順序数

集合論および順序論において、後続順序数（こうぞくじゅんじょすう、英: successor ordinal）とは、ある順序数 α が与えられたとき、α より大きい最小の順序数のことを指します。

後続順序数の定義

順序数 α の後続順序数は、しばしば S(α) と表記されます。これは、α の直後の順序数を意味し、α と S(α) の間には他の順序数が存在しません。

後続順序数の性質

0を除く任意の順序数は、後続順序数か極限順序数のいずれかです。この性質は、順序数の構造を理解する上で非常に重要です。
後続順序数は、順序数の構築において基本的な役割を果たします。特に、フォンノイマンの順序数モデルにおいて、その構成が明確に定義されています。

フォンノイマンのモデルにおける後続順序数

集合論における標準的なモデルとして、フォンノイマンの順序数モデルがあります。このモデルでは、順序数 α の後続順序数 S(α) は次のように定義されます。

S(α) = α ∪ {α}

この定義から、α < β であるための必要十分条件が α ∈ β であるという順序数の順序付けの性質を用いると、α と S(α) の間には他の順序数が存在しないこと、そして α < S(α) が成り立つことがわかります。これにより、S(α) が α の後続順序数としての条件を満たしていることが確認できます。

後続順序数と順序数の和

後続演算は、順序数の和を定義する際に利用されます。具体的には、超限帰納法を用いて、次のように定義されます。

α + 0 := α
α + S(β) := S(α + β)

また、極限順序数 λ に対しては、次のように定義されます。

α + λ := ⋃(β<λ) (α + β)

特に、S(α) = α + 1 が成り立ちます。これは、順序数の足し算における基本となる性質です。同様の方法で、乗法や冪も定義することができます。

位相

順序数の集合全体に順序位相を導入したとき、後続順序数および0は、その順序位相に関して孤立点となります。これは、後続順序数がその前後に他の順序数を持たないという性質を反映しています。

関連事項

後続基数: 後続順序数の概念に関連して、後続基数という概念も存在します。これは、ある基数の直後の基数を意味します。

まとめ

後続順序数は、集合論と順序論において基本的な概念であり、順序数の構造や演算を理解する上で欠かせない要素です。フォンノイマンモデルにおける定義、順序数の和との関係、そして位相的な性質など、多角的な側面からその重要性を理解することが大切です。

参考文献

Cameron, Peter J. (1999), Sets, Logic and Categories, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, ISBN 9781852330569
Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 9780387940946

外部リンク

successor ordinal in nLab
von Neumann ordinal - PlanetMath.
Definition:Successor Ordinal at ProofWiki
Successor Set of Ordinal is Ordinal at ProofWiki
Ordinal number - Encyclopedia of Mathematics

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