孤立点

孤立点（こりつてん）

位相空間論において、ある位相空間 (X, τ) の部分集合 S を考えます。このとき、集合 S に属する点 x が S の「孤立点」（英: isolated point）であるとは、点 x 自身の近傍であって、その近傍内に点 x 以外の S の要素が全く含まれないようなものが存在することを指します。

より厳密に定義すると、点 x が集合 S の孤立点であるための必要十分条件は、

1. x が S の要素である（x ∈ S）。
2. x のある近傍 N が存在して、N と S の共通部分が点 x 自身のみからなる（N ∩ S = {x}）。

言い換えれば、点 x を「囲む」ような小さな領域（近傍）をうまく選べば、その領域内に S の点は x 以外に存在しない、ということです。

特に、空間 X がユークリッド空間や一般的な距離空間である場合、この条件はより具体的に表現できます。点 x が部分集合 S の孤立点であることは、x を中心とするある開球体 B(x, ε) が存在し、その開球体と S の共通部分が {x} のみとなることと同値です。すなわち、B(x, ε) ∩ S = {x} となるような半径 ε > 0 が存在すれば、x は S の孤立点です。

集積点との関係

孤立点であるという性質は、「集積点」（limit point または accumulation point）であるという性質と対立する概念です。点 x が集合 S の集積点であるとは、x のどんな近傍を選んでも、自身とは異なる S の点が少なくとも一つ含まれることを言います。

したがって、部分集合 S の点 x に注目したとき、x が S の孤立点であることと、x が S の集積点ではないことは全く同じ意味を持ちます。

関連する概念

離散集合（discrete set）: 集合の全ての点がその集合の孤立点である場合、その集合は「離散集合」であると言います。例えば、整数全体の集合 Z や自然数全体の集合 N は、通常の実数直線上の位相において離散集合です。ユークリッド空間内の離散部分集合は必ず可算集合となります。

ただし、可算集合であっても、必ずしも離散集合になるとは限りません。例えば、有理数全体の集合 Q を実数直線上の部分空間と見た場合、Q は可算集合ですが、どの点も孤立点ではありません（どんな有理数の近くにも、それとは異なる有理数が無数に存在するからです）。

自己稠密集合（dense-in-itself set）: 孤立点を持たない集合を自己稠密集合と呼びます。

完全集合（perfect set）: 孤立点を持たない閉集合を完全集合と呼びます。カントール集合はコンパクトな完全集合の代表的な例です。

位相不変量としての孤立点

孤立点の数は、位相空間の重要な性質の一つであり、「位相不変量」として知られています。これは、二つの位相空間が互いに同相（位相同型）であるならば、それらの空間に含まれる孤立点の数は等しいことを意味します。位相空間の構造を理解する上で、孤立点の存在や数は有用な手がかりとなります。

具体的な例

いくつかの例を実数直線 R の部分空間として考えます。

集合 S = {0} ∪ [1, 2] について考えます。点 0 は S に属しており、例えば区間 (-0.5, 0.5) は 0 の近傍であり、この近傍内に 0 以外の S の要素は含まれません。したがって、0 は S の孤立点です。一方、区間 [1, 2] 内の点（例えば 1.5）は孤立点ではありません。どんな小さな開区間をとっても、その点自身とは異なる [1, 2] 内の点が含まれるからです。

集合 S = {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} について考えます。点 1, 1/2, 1/3, ... はそれぞれ孤立点です。例えば、点 1/3 に対して、区間 (1/4, 1/2) は 1/3 の近傍であり、この区間内に 1/3 以外の S の要素は含まれません。しかし、点 0 は S の要素ですが、孤立点ではありません。なぜなら、0 のどんなに小さな近傍（例えば (-ε, ε)）を考えても、その中に 1/k の形の点（ε < 1/k となるもの）が無数に含まれるため、0 以外の S の要素を含まない近傍は存在しないからです。実際、0 は S の集積点です。

自然数の集合 N = {0, 1, 2, ...} は離散集合です。どんな自然数 n をとっても、例えば区間 (n-0.5, n+0.5) を近傍として選べば、この区間内の自然数は n 自身しかありません。

数学の他の分野では、モースの補題において、ある種の関数の「非退化臨界点」が孤立点となることが述べられています。

直観に反する例

興味深いことに、全ての点が孤立点であるにも関わらず、その集合の閉包が非可算集合となるような例が存在します。これは直観に反するように感じられます。

このような例の一つとして、実数直線内の開区間 (0, 1) に含まれる点の中で、二進小数展開が特定の条件を満たす点全体からなる集合 F が挙げられます。この集合 F の各点は全て孤立点ですが、F の閉包は非可算集合となります。

また、単位閉区間 [0, 1] 内にあるカントール集合の補集合を考え、その各連結成分（開区間）から一点ずつ（例えば各区間の中央点）を選んで作った集合も同様の性質を持ちます。この集合の各点は孤立点ですが、その閉包はこの集合とカントール集合を合わせたものとなり、非可算集合となります。

これらの例は、位相空間論における集合の「大きさ」（可算性など）と、点の「孤立性」や集合の「稠密性」といった位相的な性質との関係が、必ずしも単純ではないことを示しています。

関連項目

集積点
触点
* 孤立点 (特異点)

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