折り紙公理

折り紙公理とは

折り紙公理とは、折り紙幾何学における一連の規則であり、紙を折る際に理論上可能な基本的な操作を記述したものです。これらの公理は、紙の厚さを無視し、伸縮しないものとして扱います。また、折る操作は平面内で完結し、折り線はすべて直線であると仮定されます。

この公理は、数学的な意味での公理の要件を完全に満たしているわけではありませんが、折り紙による図形構成の基礎となる重要な概念です。

歴史

折り紙公理は、1989年にジャック・ジュスタンによって最初に発見されました。その後、1991年に藤田文章が公理1から6を再発見し、2001年には羽鳥公士郎が公理7を再発見しました。ロバート・J・ラングも独立して公理7を再発見しています。

7つの公理

折り紙公理は、以下の7つの操作を定義しています。

1. 公理1: 2点p1, p2が与えられたとき、この2点を通るただ1つの折り方が存在する。
2. 公理2: 2点p1, p2が与えられたとき、p1をp2に重ねるただ1つの折り方が存在する。
3. 公理3: 2本の直線l1, l2が与えられたとき、l1をl2に重ねる折り方が存在する。
4. 公理4: 1点p1と1本の直線l1が与えられたとき、l1に垂直でp1を通るただ1つの折り方が存在する。
5. 公理5: 2点p1, p2と1本の直線l1が与えられたとき、p1をl1上に重ね、p2を通る折り方が存在する。
6. 公理6: 2点p1, p2と2本の直線l1, l2が与えられたとき、p1をl1上に重ね、かつp2をl2上に重ねる折り方が存在する。
7. 公理7: 1点pと2本の直線l1, l2が与えられたとき、pをl1に重ね、l2に垂直な折り方が存在する。

公理の重要性

特に注目すべき点は、公理5は解が0個、1個、または2個の場合があり、公理6は0個、1個、2個、または3個の解を持つ可能性があることです。これにより、折り紙幾何学は、最大解が2個であるコンパスと定規による幾何学よりも強力な作図能力を持つことがわかります。

コンパスと定規による作図では2次方程式しか解けませんが、折り紙幾何学（オリガメトリー）では3次方程式や、角の三等分、立方体倍積などの問題を解くことができます。

ただし、公理6の折り方を実際に行う際には、紙を滑らせる操作が必要となり、これは古典的なコンパスと定規による作図では認められていないネイシス（νευσις, neusis）という手法に相当します。コンパスと定規による作図にネイシスを導入すれば、任意の角の三等分が可能になります。

各公理の詳細

公理1

2点p1, p2を通る折り線は、媒介変数表示によって以下のように表されます。

math
F(s) = p_1 + s(p_2 - p_1)

公理2

2点p1, p2が与えられたとき、p1をp2に重ねる折り方は、線分p1p2の垂直二等分線を求めることに相当します。この折り方は、以下の4つのステップで実現できます。

1. 公理1を用いて、2点p1, p2を通る直線を求める。
2. 直線上の2点の中点pmidを求める。
3. 直線に垂直なベクトルvperpを求める。
4. 媒介変数表示による折り線の方程式は以下のように表される。
math
F(s) = p_{\mathrm{mid}} + s \cdot {\boldsymbol v}^{\mathrm{perp}}

公理3

2本の直線l1, l2が与えられたとき、l1をl2に重ねる折り方は、2つの直線が作る角の二等分線を求めることに相当します。

1. l1上の任意の点p1, p2、l2上の任意の点q1, q2を選びます。
2. l1とl2の単位方向ベクトルu, vをそれぞれ計算します。
3. 2直線が平行でない場合、交点pintを求めます。
4. 二等分線の方向ベクトルwを計算します。
5. 媒介変数表示による折り線の方程式は以下のように表される。
math
F(s) = p_{\mathrm{int}} + s \cdot w

二等分線はもう一つ存在し、これは最初の二等分線に垂直で、交点pintを通る線です。

2直線が平行な場合、折り線は2直線の中間にある平行線になります。

公理4

1点p1と1本の直線l1が与えられたとき、l1に垂直でp1を通る折り方は、p1を通るl1の垂線を求めることに相当します。この折り線は、l1に垂直なベクトルvを用いることで、以下のように表されます。

math
F(s) = p_1 + s \cdot v

公理5

2点p1, p2と1本の直線l1が与えられたとき、p1をl1上に重ね、p2を通る折り方は、p2を中心としてp1を通る円と直線l1との交点を求めることに相当します。

この折り方は、直線と円の交点の数によって0個、1個、または2個の解を持つことがあります。

1. 直線の方程式を媒介変数で表します。
2. p2を中心とする円の方程式を定義します。
3. 直線と円の交点を求めるために、円の方程式に直線の方程式を代入し、2次方程式を導出します。
4. 2次方程式の解を求め、解が存在する場合は、p1を解に重ねる折り線を公理2を応用して求めます。

公理6

2点p1, p2と2本の直線l1, l2が与えられたとき、p1をl1上に重ね、かつp2をl2上に重ねる折り方は、2つの放物線の共通接線を求めることに相当します。この解法は3次方程式を解くことに等しいとみなせます。

公理7

1点pと2本の直線l1, l2が与えられたとき、pをl1に重ね、l2に垂直な折り方は、羽鳥公士郎によって再発見されました。ロバート・J・ラングはこの公理を含めた7つの公理が、折り紙公理として完全であることを証明しました。

まとめ

折り紙公理は、紙を折る操作を数学的に表現することで、幾何学的な作図問題を解くための強力なツールとなります。特に、公理5と6は、コンパスと定規による作図では不可能な3次方程式の解法や、角の三等分などの問題を解決する可能性を示唆しています。これらの公理を理解することで、折り紙の可能性をさらに深く探求することができるでしょう。

参照文献

ロベルト ゲレトシュレーガー 著、深川 英俊 訳『折紙の数学 ユークリッドの作図法を超えて』森北出版、2002年。ISBN 4627016816。
Origami Geometric Constructions （英語） by Thomas Hull
A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers （英語） by Roger C. Alperin
ロバート・J・ラング (2003) (PDF). Origami and Geometric Constructions （英語）. ロバート・J・ラング. http://www.langorigami.com/science/hha/origami_constructions.pdf 2007年4月12日閲覧。
* 折り紙による作図 羽鳥公士郎による簡単な解説

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