指数積分

指数積分の詳解

指数積分（英: Exponential Integral）、記号でEiと表されるこの関数は、指数関数を含む特異な積分によって定義されています。この関数は主に実数の範囲での性質が語られますが、複素数の入力に対しても定義されています。指数積分は初等関数ではないことが知られており、その特異さから様々な数学的文脈で重宝されています。

定義

実関数としての指数積分

正の実数$x$に対し、指数積分は次のように定義されます。

$$
Ei(x) = - ext{p.v.} \, \\int_{-x}^{ ext{∞}} \frac{e^{-t}}{t} \, dt = \text{p.v.} \, \\int_{-\text{∞}}^{x} \frac{e^{t}}{t} \, dt
$$

ここで、$ ext{p.v.}$はコーシーの主値を示します。この定義により、$x = 0$とした場合の挙動が明確となります。さらに、$x$に負の値を与えた場合の定義も考慮されています。

複素関数としての指数積分

複素数$z$に対する指数積分は次のように表現されます。

$$
Ei(z) = - ext{π} i + \int_{- ext{∞}-0i}^{1-0i} \frac{e^{t}}{t} \, dt + \int_{1}^{z} \frac{e^{t}}{t} \, dt
$$

この定義は多価であるため、分枝切断を負の実軸に設定し、正の実軸上で実数値を取るようにしています。これにより、実数および虚数の範囲での挙動を制約することができます。

性質

正則関数と表示

複素数の関数Ein(z)は、次のように定義される。

$$
Ein(z) = \int_{0}^{z} \frac{1 - e^{-t}}{t} \, dt
$$

この関数は全複素平面で正則性を持ち、以下の関係が成り立ちます。

$$
Ein(z) - E_1(z) - \log z = -\int_{0}^{\infty} \left(\log t\right)e^{-t} \, dt = \gamma
$$

ここで、$ ext{γ}$はオイラーの定数です。この関係性により、Ei、E1の計算が容易になります。

級数展開

$n$次のテイラー展開で、Ein(z)は次のように展開されます。

$$
Ein(z) = \int_{0}^{z} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-t)^{k-1}}{k!} \, dt = - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-z)^{k}}{k \, k!}
$$

この展開は、複素平面全体で収束します。また、他の形式の展開も存在し、異なる場面に応じた利用が可能です。

漸近展開

$E_1$関数の近似は、$z$の絶対値が十分大きいとき次のように与えられます。

$$
E_1(z) = -e^{-z} \left\{ \sum_{k=1}^{n}(k-1)! \left(-\frac{1}{z}\right)^{k}+O\left(\frac{1}{z^{n+1}}\right) \right\}
$$

適当な項数でこの表現を打ち切ることにより、実用的な近似が得られます。

一般化

指数積分は次のように一般化できます。

$$
E_n(z) = z^{n-1} \int_{z}^{ ext{∞}} \frac{e^{-t}}{t^n} \, dt
$$

この定義は、特に不完全ガンマ関数に関連し、$n$次の指数積分の計算にも利用されます。

まとめ

指数積分は、数学のさまざまな分野において重要な役割を果たす関数の一つです。特に、解析学や数値解析、物理学における様々な問題において、EIやE1、その関連関数の理解が必要とされます。一見難解なこの関数ですが、正しい定義と性質を理解することで多くの応用を見出せるでしょう。

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