接ベクトル

数学における接ベクトル

数学において、接ベクトル（英: tangent vector）とは、曲線や曲面に対して、その点において「接する」方向を示すベクトルのことです。接ベクトルは、曲線の微分係数や、多様体における方向微分といった概念を用いて定義されます。

曲線の接ベクトル

まず、曲線における接ベクトルについて考えましょう。ある区間 \(I\) で定義された径数付き曲線 \(f: I \rightarrow \mathbb{R}^n\) が与えられたとします。この曲線上の点 \(t \in I\) における接ベクトルは、\(f\) の \(t\) における微分係数 \(f'(t)\) によって表されます。

もし \(f'(t)
eq 0\) であるならば、点 \(f(t)\) を通り、\(f'(t)\) を方向ベクトルとする直線

$$x(s) = f(t) + sf'(t) \quad (s \in \mathbb{R})$$

を考えることができ、この直線を点 \(f(t)\) における接線といいます。このとき、\(f'(t)/|f'(t)|\) は単位接ベクトルとなります。ただし、\(f'(t) = 0\) の場合は、必ずしも接線が存在するとは限りません。

\( \mathbb{R}^3\) 内の曲線で、弧長をパラメータとする場合には、フレネ・セレの公式が関連してきます。

径数付き曲線が関数 \(f: I \rightarrow \mathbb{R}^n\) のグラフで表される場合、\(f\) が \(t\) において微分可能であれば、この曲線は点 \((t, f(t))\) で接線を持ち、その接線は

$$y - f(t) = f'(t)(x - t)$$

と表されます。しかし、逆に接線が存在しても、関数 \(f\) が必ずしも微分可能であるとは限りません。

多様体の接ベクトル

次に、多様体における接ベクトルについて説明します。\(m\) 次元 \(C^r\) 級多様体 \(M\) （\(1 \le r \le \infty\)）の点 \(p\) における（形式的な）方向微分全体を \(D_p^r\) とします。点 \(p\) を含む座標近傍 \((U, \varphi; x_1, ..., x_m)\) をとると、方向微分 \((\partial/\partial x_i)_p\) たちによって張られる部分ベクトル空間が、座標近傍の取り方に依存せずに定まります。この空間を接ベクトル空間といい、\(T_pM\) と表記します。そして、その要素を接ベクトルといいます。

接空間は速度ベクトルの全体と一致します。また、\(r = \infty\) の場合、接空間は方向微分の全体と一致しますが、一般的には後者の方が大きくなります。

まとめ

接ベクトルは、曲線や曲面といった幾何学的対象の局所的な振る舞いを解析する上で非常に重要な概念です。曲線の接ベクトルは微分係数として定義され、接線を定めるために用いられます。一方、多様体における接ベクトルは、方向微分という概念に基づいており、より一般的な幾何構造を扱うための基礎となります。これらの概念を理解することで、より高度な数学的な議論が可能になります。

関連項目

接線

参考文献

杉浦, 光夫『解析入門I』東京大学出版会〈基礎数学2〉、1980年。ISBN 978-4-13-062005-5。
松本, 幸夫『多様体の基礎』東京大学出版会〈基礎数学5〉、1988年。ISBN 978-4-13-062103-8。
小林, 昭七『曲線と曲面の微分幾何（改訂版）』（第36版）裳華房、2010年。ISBN 978-4-7853-1091-2。

もう一度検索