接吻数問題

接吻数問題とは

接吻数問題（せっぷんすうもんだい、kissing number problem）は、数学、特に離散幾何学の分野における古典的な未解決問題の一つです。この問題は、「n次元ユークリッド空間において、一つの単位球（半径1の球）を中心としたとき、その周囲に、互いに重なることなく中心の単位球に接することのできる、同じ半径の単位球の最大個数はいくつになるか」という問いに集約されます。この求められる最大個数のことを、その次元における接吻数（kissing number）と呼びます。

問題の名前である「接吻数」は、球が互いに触れ合っている様子を、親しみを込めて「接吻している」と表現したことに由来すると考えられています。球体を用いた立体配置や充填に関する問題は、古くから科学者や数学者の関心を集めてきました。

歴史的背景

特に3次元空間における接吻数問題は、数学史上有名な議論の対象となりました。17世紀末、イングランドの科学者アイザック・ニュートンとスコットランドの数学者デイヴィッド・グレゴリーの間で、3次元空間における接吻数が12個なのか13個なのかについて意見が分かれたと伝えられています。

ニュートンは、中心の球の周囲に12個の球が接する場合、それらの球が互いにわずかな隙間を残すと考え、最大個数は12個であると推測しました。一方、グレゴリーは、それらの球が中心の球の周りを動き回る余裕があることから、13個目の球を押し込める可能性も否定できないと主張したとされています。この論争は、当時の数学的な手法では厳密に解決することが非常に困難であったことを示しています。

その後も多くの数学者によって研究が続けられましたが、3次元接吻数問題が最終的に厳密に解決されたのは、ニュートンとグレゴリーの議論から実に250年以上が経過した後のことでした。1953年、ドイツの数学者クルト・シュッテ（Kurt Schütte）とオランダの数学者ファン・デル・ヴェルデン（B.L. van der Waerden）が、この問題に対する厳密な証明を発表し、3次元における接吻数が12であることを確定させました。

既知の結果と研究状況

接吻数問題は、次元nが大きくなるにつれてその複雑さを増し、一般のn次元における接吻数を求める一般的な公式は知られていません。しかし、いくつかの特定の次元では、その正確な値が判明しています。2018年時点で確定している接吻数は以下の通りです。

n=0次元: 0
n=1次元: 2
n=2次元: 6
n=3次元: 12
n=4次元: 24
n=8次元: 240
* n=24次元: 196560

特に、8次元と24次元における接吻数は、それぞれE₈格子とリーチ格子という非常に特殊で対称性の高い数学的構造と密接に関連しており、これらの格子の性質を利用することでその値が証明されました。

これらの確定した次元以外の多くでは、正確な接吻数はまだ明らかになっておらず、その値は上下限の範囲としてしか知られていません。高次元になるにつれて、球の配置の可能性が爆発的に増加するため、厳密な証明を得ることが極めて困難になるからです。

関連分野

接吻数問題は、球充填（sphere packing）問題と深く関連しています。球充填問題は、空間を同じ大きさの球で可能な限り密に埋め尽くす配置を問うものであり、接吻数はその局所的な配置の限界を示すものと言えます。最密充填構造（例えば3次元における面心立方格子や六方最密充填）においては、どの球もその周囲の一定数の球に接しており、この数がその次元における接吻数に対応する場合が多いです。

また、接吻数問題は、情報理論における符号理論や、代数幾何学、組合せ論など、他の多くの数学分野とも関連があります。高次元空間での効率的な点配置を見つける問題として、理論物理学や化学などの応用分野でも示唆を与えることがあります。

現在も、未解決の次元における接吻数の値を確定させるための研究が進められており、高次元空間における幾何学的な構造を理解する上で重要な問題の一つであり続けています。

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