整数の合同

整数の合同とその応用

整数の合同（英: congruence）は、数学において二つの整数間の関係を明確に定義する概念です。この考え方は、ドイツの数学者ガウスによって初めて構造的に探求され、彼の1801年の著作『Disquisitiones Arithmeticae』内でも取り上げられました。現代では、この理論は数論、一般代[[数学]]、さらには暗号理論といった多様な分野で応用されています。

合同算術の基本

整数の合同に関連する分野は「合同算術（modular arithmetic）」と呼ばれます。合同算術の特徴は、整数そのものを直接扱うのではなく、整数を特定の法（法 n という整数で表される）で割った剰余を基に計算する点にあります。こうした仕組みを理解するための具体的な例として、アナログ時計での計算に触れましょう。

時計算の例

アナログ時計は、12時間制で時を示します。例えば、9時から4時間進めると、時計上では1時になるため、13時ではなく1時と表示されます。このように、12という法で考えた場合、9と21は同じ時間を指すとされ「合同」であると表現されます。この概念を用いれば、任意の整数の時計を想定し、その上での計算は容易に行うことができます。

合同の定義と基本的性質

法 n に関して、二つの整数 a と b が「合同」であるとは、次のいずれかの条件が成り立つ場合を指します:
1. a と b の差が n で割り切れる。
2. a を n で割った剰余が b を n で割った剰余と等しい。
3. a - b が n の倍数。

この場合、この合同関係は以下の基本的な性質を持ちます:

• - 反射律: 任意の整数 a に対して a ≡ a (mod n) が成立。
• - 対称律: a ≡ b (mod n) が成り立てば b ≡ a (mod n) も成り立つ。
• - 推移律: a ≡ b (mod n) かつ b ≡ c (mod n) ならば a ≡ c (mod n) が成り立つ。

合同類環 Z/nZ

整数の合同の性質は、商集合 Z/nZ を形成する基盤となります。ここでは、法 n に関連する整数を同じ剰余を持つもの同士でグループ化します。加法と乗法は理解しやすく、例えば法 n における加法は次のように定義されます:

• - 二つの剰余類 a と b に対して、剰余類 a + b modulo n を求めます。

乗法についても同様で、剰余類 a × b modulo n を考えます。これにより整数の加法と乗法が共通の特性を持つことが示され、環の概念が導入されます。

合同方程式とその解法

合同環では、代数の一般的な法則が必ずしも成り立たないことがありますが、方程式の解法においては特定の規則が必要です。たとえば、方程式 ax ≡ b が一意の解を持つためには、a と n が互いに素であることが必要です。これにより、整数の法則とは異なる結果が得られます。

結論

整数の合同に関する理論は、現代[[数学]]の多くの分野において重要な役割を果たしており、特に数論や暗号理論ではその応用が顕著です。合同算術の基礎的な理解は、より複雑な数学的構造を学ぶうえでの第一歩となります。

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