方正積分
数学において、方正積分（ほうせいせきぶん、英: regulated integral; 統制積分とも呼ばれます）とは、方正関数（あるいは統制関数と呼ばれる）に対して定義される積分論です。この積分法は、著名な数学者集団であるブルバキによって、従来のリーマン積分とは異なる、あるいはそれを補完する視点から提唱されました。特に、ジャン・デュドネがその導入を強く進めたとされています。
方正積分が適用される対象である方正関数は、実数軸上の有界閉区間 [a, b] 上で定義される実数値関数のうち、比較的簡単な関数である階段関数によって一様近似できるものとして定義されます。
具体的には、関数 f: [a, b] → R が方正関数であるとは、以下のいずれかの同値な条件を満たすことを言います。
最後の条件は、方正関数が持つ特徴的な性質を示しており、関数が飛び飛びの値をとる不連続点を持つ場合でも、その各点での「飛び方」が制御されていることを意味します。
方正積分の出発点となるのは、階段関数の積分です。区間 [a, b] 上の階段関数 φ は、区間を有限個の小区間 [ti, ti+1] に分割したとき、各開区間 (ti, ti+1) 上で一定の値 ci をとります。このような階段関数 φ の積分は、各小区間での定数値 ci とその区間の長さ |t_{i+1} - t_i| の積を、すべての小区間について合計することで定義されます。
この定義は、階段関数の表現に用いる区間の分割方法によらず一意に定まることが示せます。
方正関数 f の積分は、f を一様極限に持つような階段関数列 (φn) の積分の極限として定義されます。具体的には、(φn) が f に一様収束する階段関数列であるとき、階段関数の積分の列 $(\int_{a}^{b} \varphi_n(t)\,{\mathit{dt}})_n$ は収束します。この極限値が、方正関数 f の積分です。
この定義における極限の存在と、どのような階段関数列を選んでも同じ極限値が得られることは、関数解析学の基本的な結果である連続線型拡張定理によって保証されます。この定理は、ノルム空間の稠密な部分空間で定義された有界線型作用素が、空間全体に一意的に拡張できることを述べており、階段関数の空間上で定義された積分操作を、方正関数の空間へと拡張する根拠となります。
方正積分は、線型性（関数の和や定数倍に関する性質）や有界性など、多くの望ましい性質を持ちます。例えば、積分は線型写像であり、また関数が有界であればその積分の値も区間の長さに応じて有界に収まります。
すべての階段関数はリーマン可積分であり、方正関数はその一様極限として定義されます。一様収束する関数列に対しては、積分の順序と極限の順序を交換できるという良い性質があるため、方正関数はリーマン可積分であり、方正積分で計算される値はリーマン積分で計算される値と一致します。
ブルバキがリーマン積分の代わりに方正積分を提唱した背景には、リーマン積分が持ついくつかの不便さ、特に一様収束しない関数列に対して積分と極限の交換が一般に保証されないという点があったと考えられます。連続関数から出発し、その一様極限として定義される方正関数に焦点を当てることで、一様収束という概念と親和性の高い積分論を構築しようとしたと言えます。方正関数は、片側極限が存在するという特徴により、リーマン可積分関数の中でも比較的扱いやすいクラスに属します。
方正積分と方正関数の考え方は、有界閉区間上の実数値関数にとどまらず、いくつかの修正を加えることで、実数軸全体で定義された関数や、ノルム空間に値をとるベクトル値関数に対しても拡張して定義することが可能です。
このように、方正積分は、特定の関数のクラスに注目し、一様収束の概念を基礎に据えることで、積分論における一つの明確な視点を提供する概念です。
方正関数とは
方正積分が適用される対象である方正関数は、実数軸上の有界閉区間 [a, b] 上で定義される実数値関数のうち、比較的簡単な関数である階段関数によって一様近似できるものとして定義されます。
具体的には、関数 f: [a, b] → R が方正関数であるとは、以下のいずれかの同値な条件を満たすことを言います。
- - 区間 [a, b] 上で定義された階段関数列 (φn) が存在し、その列が関数 f に一様収束する（すなわち、n が大きくなるにつれて ||φn - f||∞ が 0 に近づく）。
- - 任意の正の数 ε に対して、ある階段関数 φε が存在し、区間 [a, b] 全体で |f(t) - φε(t)| < ε となる。
- - 区間 [a, b] 上のすべての有界関数からなる空間の中で、一様ノルムに関して階段関数全体の空間の閉包に f が属する。
- - 区間 [a, b) の任意の点 t において右側極限 $\lim_{s \to t^+} f(s)$ が存在し、かつ区間 (a, b] の任意の点 t において左側極限 $\lim_{s \to t^-} f(s)$ が存在する。
最後の条件は、方正関数が持つ特徴的な性質を示しており、関数が飛び飛びの値をとる不連続点を持つ場合でも、その各点での「飛び方」が制御されていることを意味します。
階段関数の積分
方正積分の出発点となるのは、階段関数の積分です。区間 [a, b] 上の階段関数 φ は、区間を有限個の小区間 [ti, ti+1] に分割したとき、各開区間 (ti, ti+1) 上で一定の値 ci をとります。このような階段関数 φ の積分は、各小区間での定数値 ci とその区間の長さ |t_{i+1} - t_i| の積を、すべての小区間について合計することで定義されます。
$\int_{a}^{b} \varphi(t)\,{\mathit{dt}} := \sum_{i=0}^{k-1} c_i |t_{i+1} - t_i|$
この定義は、階段関数の表現に用いる区間の分割方法によらず一意に定まることが示せます。
方正積分への拡張
方正関数 f の積分は、f を一様極限に持つような階段関数列 (φn) の積分の極限として定義されます。具体的には、(φn) が f に一様収束する階段関数列であるとき、階段関数の積分の列 $(\int_{a}^{b} \varphi_n(t)\,{\mathit{dt}})_n$ は収束します。この極限値が、方正関数 f の積分です。
$\int_{a}^{b} f(t)\,{\mathit{dt}} := \lim_{n\to\infty} \int_{a}^{b} \varphi_n(t)\,{\mathit{dt}}idon
この定義における極限の存在と、どのような階段関数列を選んでも同じ極限値が得られることは、関数解析学の基本的な結果である連続線型拡張定理によって保証されます。この定理は、ノルム空間の稠密な部分空間で定義された有界線型作用素が、空間全体に一意的に拡張できることを述べており、階段関数の空間上で定義された積分操作を、方正関数の空間へと拡張する根拠となります。
性質とリーマン積分との関係
方正積分は、線型性（関数の和や定数倍に関する性質）や有界性など、多くの望ましい性質を持ちます。例えば、積分は線型写像であり、また関数が有界であればその積分の値も区間の長さに応じて有界に収まります。
すべての階段関数はリーマン可積分であり、方正関数はその一様極限として定義されます。一様収束する関数列に対しては、積分の順序と極限の順序を交換できるという良い性質があるため、方正関数はリーマン可積分であり、方正積分で計算される値はリーマン積分で計算される値と一致します。
ブルバキがリーマン積分の代わりに方正積分を提唱した背景には、リーマン積分が持ついくつかの不便さ、特に一様収束しない関数列に対して積分と極限の交換が一般に保証されないという点があったと考えられます。連続関数から出発し、その一様極限として定義される方正関数に焦点を当てることで、一様収束という概念と親和性の高い積分論を構築しようとしたと言えます。方正関数は、片側極限が存在するという特徴により、リーマン可積分関数の中でも比較的扱いやすいクラスに属します。
さらなる拡張
方正積分と方正関数の考え方は、有界閉区間上の実数値関数にとどまらず、いくつかの修正を加えることで、実数軸全体で定義された関数や、ノルム空間に値をとるベクトル値関数に対しても拡張して定義することが可能です。
このように、方正積分は、特定の関数のクラスに注目し、一様収束の概念を基礎に据えることで、積分論における一つの明確な視点を提供する概念です。
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