既約元

既約元と素元の理解

抽象代数学の分野において、整域の元は、その性質や役割に応じて分類されます。その中で、「既約元」という概念は特に重要です。既約元は、整域において0でも単元でもない元であり、その特性は他の元との関係に依存しています。

既約元の定義

既約元は、特に「それが2つの非単元の積でない場合」を強調することで定義されます。つまり、ある元が既約であるとされるためには、それ自身が2つの非単元に分解することができない必要があります。この性質は、代数学のいくつかの理論や定理において、重要な役割を果たします。

ただし、ここで注意が必要なのは、「既約元」と「素元」が異なる概念であるという点です。素元は、特に可換環 R において、0でも単元でもない元 a に関する条件です。元 a が素元であるためには、R の任意の元 b と c が存在しているとき、a が bc を割り切るならば、必ず a は b または c にも割り切る必要があります。

既約元と素元の関係

整域に関して、素元は常に既約元である一方で、既約元が必ずしも素元であるとは限りません。この逆の関係は、一意分解整域やGCD整域においては成り立ちますが、一般の整域では必ずしも当てはまりません。したがって、数学におけるさまざまな文脈を考慮することが必要です。

イデアルとその生成

既約元に関連して、イデアルの生成について考えると、素元で生成されたイデアルは常に素イデアルであることがわかりますが、既約元で生成されるイデアルについては一般的には既約イデアルになるとは限りません。しかし、特定の条件下であるGCD整域 D において、既約元 x から生成されるイデアルはもともと素イデアルであるため、既約イデアルでもあることが知られています。

例：二次整数環

具体例として、二次整数環
\[ \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}] \] のノルムを用いた議論を示します。この環において数 3 が既約であることを証明できます。しかし、3 がこの環で素元でない理由は重要なポイントです。具体的には、次のように考えます。

\[ 3 \mid (2 + \sqrt {-5})(2 - \sqrt {-5}) = 9 \] ですが、3 はそれを因数である 2 + \sqrt {-5} および 2 - \sqrt {-5} の両方を割り切ることができないため、素元ではないとされます。これは、既約元の素元と比べた時の特異性を示す良い例です。

結論

これらの知識は、代数学の基礎的な理解に重要であり、既約元と素元の違いを理解することでより深い数学的思考が可能になります。これにより、さらに複雑な数学的構造や理論を探求するための基盤を築くことができます。

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