素元

可換環の素元についての概要

可換環における素元は、整数の素数や既約多項式に類似した特性を持つ重要な要素です。これに関する研究は、数学の基本的な考え方を理解する上で不可欠です。特に、素元は一意分解整域における重要な概念であり、算術の基本定理を理解する上でも中心的な役割を果たします。

素元の定義

可換環 R の元 p が素元であるためには、以下の条件を満たさなければなりません。まず、p は零でなく、かつ単元でもないことが必要です。また、どの元 a と b に対しても、p が ab を割り切るときは、p が a もしくは b のいずれかを割り切ることが求められます。この性質は、元 p が生成する単項イデアル (p) が0でない素イデアルであることとも同値です。

この素元の特性は、算術の基本定理から導かれます。この定理は、すべてのゼロでない整数が実質的に唯一の方法で、正または負の素数を加えた形で記述できることを示しています。この定理は、一意分解整域の研究への道を開く要素でもあり、整数の特性を一般化する利用がなされています。

素元の判定

元が素元かどうかは、それが属する環によって異なる場合があります。たとえば、整数環 Z においては元 2 は素元ですが、ガウス整数環 Z[i] では素元とは言えません。これは、2 が (1 + i)(1 − i) として因数分解されるため、どちらの因子も割り切らないからです。

素イデアルとの関連

環 R のイデアル I が素イデアルとみなされるためには、その剰余環 R/I が整域であることが必要です。さらに、0でない単項イデアルが素イデアルとなるためには、それが単一の素元から生成される必要があるという二つの条件は同値です。

既約元との違い

素元と既約元は混同しがちですが、特に注意が必要です。整域においては、すべての素元は既約元ですが、逆は必ずしも成り立ちません。しかし、一意分解整域やGCD整域においては、素元と既約元の概念は一致します。

素元の具体例

可換環における素元について、以下に具体例を挙げます。これにより、素元の理解が深まることでしょう。

1. 有理整数環 Z では、整数 ±2, ±3, ±5, ±7, ±11 などが素元として知られています。

2. ガウス整数環 Z[i] においては、複素数 (1 + i), 19, および (2 + 3i) が素元です。

3. 多項式環 Z[x] では、多項式 x^2 − 2 や x^2 + 1 が素元とされます。

参考文献

この概念をより深く理解するためには、以下の参考文献に目を通すことをお勧めします。

• - Hungerford, Thomas W. (1980)。"Algebra"。Graduate Texts in Mathematics, 73。
• - Jacobson, Nathan (1989)。"Basic algebra. II"。
• - Kaplansky, Irving (1970)。"Commutative rings"。

これらの資料は、可換環やその素元に関する理論や実例を深く掘り下げるための良いリソースです。

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