星型多面体

星型多面体：幾何学の美しい星たち

星型多面体とは、平面的な多面体の辺や面を空間的に拡張することで生まれる、幾何学的に興味深い立体です。正四面体や立方体のように、拡張しても自己交差しない多面体もありますが、多くの多面体では拡張によって辺や面が交差します。この交差によって生じる立体が、星型多面体です。

星型多面体の生成過程を「星型化」と呼びます。多面体の面を拡張し、その拡張された面同士が交わることで新たな立体が形成されます。これらの交線によって作られる図形を「星型パターン」と呼びます。

星型多面体の定義

星型多面体を定義する際には、いくつかの重要な条件があります。これらの条件は、星型多面体とそうでない立体を区別するために必要です。

1. 面の位置: 星型多面体の面は、元の多面体の面を構成する平面上に存在しなければなりません。
2. 面の均質性: すべての面を構成する領域は、各平面上で同一の形状と大きさでなければなりません。
3. 対称性: 各平面上の領域は、元の多面体の面と同じ回転対称性を持つ必要があります。
4. 視認性: 各平面上の領域は、完成した星型多面体の外形においてはっきりと見えるものでなければなりません。
5. 鏡像の排除: 鏡像の関係にある2つの星型の面が接合した形状は、星型多面体としては認められません。

これらの条件は、正二十面体の星型を分類する際にJ.C.P.ミラーによって提案されたものです。

星型多面体の表記

多面体を星型化すると、複数の層に分離されます。これらの層をアルファベット（a, b, c…）で表し、さらに層の中に複数の形状がある場合は数字（b1, b2…）を追加して区別します。また、鏡像関係にある形状は、右手系を細字（b1）、左手系を斜体（b1）で区別します。すべての層を使用する場合は大文字（A, B, C…）で表し、元の多面体はAで表されます。

正多面体の星型

正多面体の中でも、正四面体と正六面体からは、辺や面を拡張しても新しい星型多面体を生成することはできません。

正八面体の星型:

辺からの星型化は不可能です。
面からの星型化では、正八面体自身と星型八面体（ダ・ヴィンチの星として知られる、2つの正四面体の複合多面体）の2種類が生成されます。

正十二面体の星型:

辺からの星型化では、小星型十二面体が生成されます。
面からの星型化では、正十二面体自身、小星型十二面体、大十二面体、大星型十二面体の4種類が生成されます。

正二十面体の星型:

正二十面体の星型化は非常に複雑で、多様な星型多面体が生成されます。辺からの星型化では大星型十二面体ができます。面からの星型化では、a, b, c, d, e1, e2, f1, f2, g1, g2, hなど、多くの胞（セル）が生成され、合計59種類の星型が存在します。そのうち27種類はキラル（ねじれた）な形状を示します。代表的なものとして、小三角六辺形二十面体、5個の正八面体の複合多面体、medial triambic icosahedron、great triambic icosahedron、5個または10個の正四面体の複合多面体、Ef1g1、大二十面体、完全二十面体などがあります。

まとめ

星型多面体は、多面体の幾何学的な拡張によって生じる、多様な形状を持つ立体です。その生成過程、定義、表記法、そして正多面体からの生成例を理解することで、幾何学の世界の奥深さを垣間見ることができます。正二十面体の星型は特に多様性に富んでおり、更なる探求を促す魅力的な対象です。

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