正二十面体

正二十面体について

正二十面体（せいにじゅうめんたい、英: regular icosahedron）は、三次元空間で最大の面数を持つ正多面体です。この立体は、20枚の正三角形によって構成され、凸多面体として知られています。また、正十二面体の頂点の周りで面の中心までを切り落とすことで得られるため、両者は双対関係にあります。

基本的な性質

正二十面体は、正反五角柱の両底面に正五角錐を付加する形状とも言えます。そのため、「双五角錐反柱 (Gyroelongated pentagonal bipyramid)」という名称でも呼ばれることがあります。この立体にはさまざまな特徴がありますが、その中でも向かい合う面同士が平行である点が挙げられます。

正二十面体に関連する展開図の数は43,380通りあり、その面の数は20、辺の数は30、頂点の数は12に上ります。また、各頂点は正五角形で構成されており、5本の辺と5枚の正三角形が集まりています。これは正十二面体との双対性を持つことを意味しています。

計量と座標システム

正二十面体の計量に関して、一辺の長さをaとした場合、その構成要素について考えることができます。座標系において頂点、辺、面それぞれの位置を示すことができ、特に標準的な座標系での表現が重要です。

例えば、12個の頂点は、原点からの距離で表し、座標は次のようになります。

• - 頂点: (0, ϵ₂, ϵ₃ϕ)

ここで、ϵは±1、ϕは黄金比を表し、他の座標も同様に設定されます。また、面の外側から見た場合の頂点の列や各種中心座標が設定されることで、全体の構造が立体的に理解されることになります。

対称性とその群

正二十面体の回転対称性の群は、5文字の交代群であるA₅に同型であり、その位数は60です。このような性質によって、正二十面体の対称性は非常に堅牢であり、特に五次方程式の解法においても重要な役割を果たしています。アーベル-ルフィニの定理の証明にも関連し、数学者フェリックス・クラインはこの対称性を使って五次方程式の解析的解法を探求しました。

これに加えて、正二十面体の全ての対称性を含む群はIₕと呼ばれ、その位数は120です。この群は、回転対称群と群のサイズ2を持つ鏡映群の直積に同型です。その上で、双対形状である正十二面体の対称性群も、正二十面体と同等です。

まとめ

正二十面体は、数学的美しさを持つ立体であり、その性質は幾何学のさまざまな分野において重要な意味を持っています。対称性の群やその計量に関する研究は、数多くの数学者によって追求されており、その理解はさらなる発展の礎となっています。この立体を学ぶことで、三次元空間の新たな視点を得ることができるでしょう。

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