時間順序積

時間順序積について

物理学における時間順序積（time-ordered product）は、量子力学や場の量子論で扱われる重要な概念です。この概念は、演算子の積が時間に依存する性質を持つため、その順序を正しく扱うことが求められます。時間順序積は、演算子を時間の大小関係に従って再配置する技術を指します。物理学者フリーマン・ダイソンによって導入され、特に場の理論におけるS行列の計算において活用されています。

量子力学における時間順序積

量子力学では、物理量は通常、非可換な演算子で表現されます。このため、演算子の積はその順序によって異なる結果をもたらすことがあります。特に、時間に依存する演算子の積においては、時間の順序に基づき、より早い時間に存在する演算子が右側に配置されるように整理されます。これは時間順序積の基本的な定義です。

例えば、物理量 A1(t1) と A2(t2) の時間順序積は以下のように表されます。

$$
T\{ A1(t1) A2(t2) \} = \begin{cases}
A1(t1) A2(t2) & (t1 > t2) \\
A2(t2) A1(t1) & (t2 > t1)
\end{cases}
$$

ここで、$$θ(t)はヘヴィサイドの階段関数を示し、実際には次のように表記できます。

$$
T\{ A1(t1) A2(t2) \} = θ(t1 - t2) A1(t1) A2(t2) + θ(t2 - t1) A2(t2) A1(t1)
$$

この時間順序積の概念は、n個の物理量に対しても拡張され、次のように一般化できます。

$$
T\{ A1(t1) A2(t2) \cdots An(tn) \} = \sum_p θ(t_{p_1} > t_{p_2} > \cdots > t_{p_n}) A_{p_1}(t_{p_1}) A_{p_2}(t_{p_2}) \cdots A_{p_n}(t_{p_n})
$$

この式において、和の記号はn次の対称群におけるすべての置換を考慮していることを意味します。

場の量子論における時間順序積

場の量子論においても、場の演算子の組みに対して時間順序積が定義されます。ただし、場の演算子にはボソンとフェルミオンの演算子が存在し、これらは並べ替えの際に異なる符号付けが必要です。例えば、次のように記述されます。

$$
T\{ A1(t1) A2(t2) \} = \begin{cases}
A1(t1) A2(t2) & (t1 > t2) \\
\pm A2(t2) A1(t1) & (t2 > t1)
\end{cases}
$$

ここで、符号の ± はボソンとフェルミオンを識別するために重要な意味を持ちます。一般的なn個の場の演算子の場合も次のように表現できます。

$$
T\{ A1(t1) A2(t2) \cdots An(tn) \} = \sum_p θ(t_{p_1} > t_{p_2} > \cdots > t_{p_n}) ϵ(p) A_{p_1}(t_{p_1}) A_{p_2}(t_{p_2}) \cdots A_{p_n}(t_{p_n})
$$

ここで、周囲の条件に従って演算子の符号がボソン及びフェルミオンの性質に準じます。

時間発展における応用

時間順序積は、特に時間に依存するハミルトニアンを用いた時間発展の表現において力を発揮します。シュレディンガー表示のもとで、時間発展作用素 U は、次の式によって定義されます。

$$
ψ(t_0)⟩
$$

ここで、U は状態の時間発展を表し、システムの時間発展に関する様々な関係式を導出することができます。具体的には、時間順序積を利用して、時間発展作用素を逐次積分として記述することができます。このように、時間順序積は量子力学や場の量子論の理論と計算において、非常に重要な役割を果たしています。

結論

時間順序積は、量子力学と場の理論における演算子の取り扱いにおいて不可欠な道具であり、その概念や計算手法は、物理学の多数の分野において広く応用されています。

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