対称群

対称群：要素の並べ替えを扱う群

対称群は、数学において集合の要素の順序を入れ替える操作、すなわち置換を元とする群です。集合の要素を番号付けし、それらの番号を入れ替える操作を考えます。この操作が置換であり、全ての可能な置換を集めたものが対称群を構成します。

様々な数学的議論において、要素の順序を考慮したり、全ての並べ替え方を調べることが必要になります。例えば、方程式の解の個数を求めたり、グラフの同型性を調べたりする際に、対称群は重要な役割を果たします。

対称群の定義

集合 I_n = {1, 2, ..., n} を考えます。I_n から I_n への全単射（一対一の対応）全体の集合は、写像の合成を積として群を成します。この群を n 次の対称群と呼び、S_n, Σ_n, 𝔖_n, Sym(n) などで表します。S_n の元は n 次の置換と呼ばれます。n 次対称群の位数は n の階乗 (n)! です。

有限集合 X についても同様に、X から X への全単射全体の集合 Sym(X) は群になり、これを X の対称群と呼びます。|X| = n のとき、Sym(X) と S_n は同型です。

置換は、要素の入れ替えを表現する行列を用いて記述できます。例えば、(1, 2, ..., n) を (σ(1), σ(2), ..., σ(n)) に変換する置換 σ は、次のような行列で表現できます。


[ 1 2 ... n ]
[ σ(1) σ(2) ... σ(n) ]


無限集合に対する対称群は、有限部分集合に関する対称群の直極限として定義されます。自然数の集合 ℕ に対する無限対称群は S_∞ と表記され、これは全ての S_n の合併と見なせます。

対称群の諸概念

群演算: 対称群の群演算は写像の合成です。置換 σ, τ の積は、στ または τσ のように共変的または反変的に表されます。

巡回置換: 巡回置換とは、いくつかの要素を円環状に入れ替える置換です。例えば、(1 2 3) は 1 → 2 → 3 → 1 と循環させる置換です。任意の置換は互いに素な巡回置換の積に一意的に分解できます。

互換: 互換とは、2 つの要素のみを入れ替える置換です。任意の置換は互換の積として表せ、互換の数が偶数なら偶置換、奇数なら奇置換と呼ばれます。偶置換の全体は交代群 A_n を形成し、S_n の正規部分群となります。

置換の符号: 置換の符号 sgn(σ) は、置換が偶置換なら 1、奇置換なら -1 をとる関数です。これは置換行列の行列式、転倒数などによって定義できます。

共役類: 対称群の共役類は、巡回置換型によって分類されます。巡回置換型とは、置換を互いに素な巡回置換の積に分解した際に現れる巡回置換の長さの組のことです。

対称群の応用

対称群は、様々な数学分野に応用されます。

一般多項式のガロア群: n 次の一般多項式のガロア群は n 次対称群 S_n です。これは、多項式の解の対称性を記述します。

対称式: 対称群は多変数多項式環に作用し、不変元である対称式を定義します。

置換行列: 置換は置換行列として表現でき、線形代数において使用されます。

表現論: 対称群の表現論は、物理学や化学など様々な分野に応用されます。特にヤング図形は、対称群の既約表現の分類に用いられます。

対称群の部分群構造

対称群の部分群は置換群と呼ばれます。重要な部分群として、交代群 A_n があります。S_n の正規部分群は、n が 4 以下の場合を除いて、単位元と A_n だけです。シロー部分群は、p 群の重要な例として研究されています。極大部分群は、非推移的、非原始的、原始的な三種類に分類されます。

対称群の自己同型群とホモロジー

n ≠ 2, 6 のとき、S_n は完全群です。n = 6 のときは、位数 2 の外部自己同型を持ちます。対称群のホモロジーは、安定ホモトピー論と関連があります。

対称群は、その豊かな構造と広範な応用から、数学において非常に重要な研究対象となっています。この解説が、対称群への理解を深める一助となれば幸いです。

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