有限インパルス応答

有限インパルス応答（FIR）フィルタとは

有限インパルス応答（FIR）フィルタは、デジタルフィルタの一種であり、そのインパルス応答が有限時間でゼロになる特性を持つフィルタです。これは、入力信号としてクロネッカーのデルタ関数を与えた際、フィルタの出力が有限のサンプル数で収束することを意味します。対照的に、無限インパルス応答（IIR）フィルタは、内部フィードバックにより応答が無限に続く可能性があります。

FIRフィルタの動作原理

FIRフィルタの基本的な動作は、以下の差分方程式で表されます。

math
y[n] = b_0x[n] + b_1x[n-1] + ... + b_Nx[n-N]


ここで、

`x[n]` は入力信号
`y[n]` は出力信号
`b_i` はフィルタ係数
`N` はフィルタ次数

を表します。この式は、現在の出力 `y[n]` が、現在の入力 `x[n]` と過去の `N` 個の入力サンプルに、それぞれ対応するフィルタ係数 `b_i` を乗じたものの総和で計算されることを示しています。`N` 次のFIRフィルタでは、`N+1`個の係数（タップ）を使用します。この計算は、入力信号とフィルタ係数との畳み込み演算としても表現できます。

math
y[n] = \sum_{i=0}^{N} b_i x[n-i]

インパルス応答

インパルス応答は、入力信号がクロネッカーのデルタ関数 `δ[n]` である場合のフィルタの出力です。FIRフィルタの場合、インパルス応答はフィルタ係数の集合 `b_n` (n=0からN) と一致します。

math
h[n] = \sum_{i=0}^{N} b_i \delta[n-i] = b_n

伝達関数

インパルス応答のZ変換は、FIRフィルタの伝達関数 `H(z)` となります。

math
H(z) = \mathcal{Z} {h[n]} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{N} b_n z^{-n}

安定性

FIRフィルタは、出力が有限個の入力の有限倍の総和であるため、有界入力に対して必ず有界な出力を返す（BIBO安定）ことが保証されています。これは、すべての極が原点に存在し、単位円内にあるためです。この安定性は、FIRフィルタが常に予測可能な動作をする上で重要な特性です。

FIRフィルタの利点

FIRフィルタは、IIRフィルタと比較して、いくつかの利点があります。

安定性: 常に安定であり、設計が容易です。
フィードバック不要: フィードバックがないため、丸め誤差が累積せず、計算精度を高く保てます。
線形位相: 位相特性を線形に設計することが可能で、信号の歪みを最小限に抑えられます。特にオーディオ処理や画像処理など、位相の正確さが重要なアプリケーションで有効です。

FIRフィルタの応用

FIRフィルタは、その特性から多くの分野で利用されています。

オーディオ処理: イコライザー、クロスオーバーフィルタ、ノイズリダクションなど。
画像処理: 画像の鮮鋭化、ぼかし、ノイズ除去など。
通信: チャネルイコライゼーション、データフィルタリングなど。
* 計測: データ平滑化、ノイズ除去など。

まとめ

FIRフィルタは、デジタル信号処理において非常に重要な役割を果たします。その安定性、線形位相特性、実装の容易さから、多くのアプリケーションで広く利用されています。これらの特性を理解することで、より効果的なフィルタ設計と信号処理が可能になります。

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