Z変換

Z変換：離散信号処理の基礎

関数解析学において、Z変換は離散的な時間領域信号を複素周波数領域に変換する強力なツールです。この変換は、離散信号の解析、設計、そして操作において広く用いられています。本稿では、Z変換の定義、重要な性質、そして関連する概念について詳細に解説します。

Z変換の定義

Z変換は、離散時間信号 {xn} を複素変数 z の関数 X(z) に写像する変換です。両側Z変換は次式で定義されます。

X(z) = Σ (n = -∞ to ∞) xn z^(-n)

ここで、xn は離散時間信号の n 番目のサンプル、z は複素数です。多くの工学的な応用では、信号は因果的（n < 0 のとき xn = 0）であると仮定されます。この場合、片側Z変換が用いられ、総和は n = 0 から ∞ までとなります。

X(z) = Σ (n = 0 to ∞) xn z^(-n)

この変換は、定義式における遅延要素 z に由来して「Z変換」と呼ばれています。

収束領域

Z変換の級数は、すべての z について収束するとは限りません。収束する z の値の集合を収束領域 (Region of Convergence, ROC) と呼びます。ROC は、Z変換の一意性を決定する上で重要な役割を果たします。

逆Z変換

Z変換 X(z) から元の信号 {xn} を得る操作を逆Z変換と呼びます。逆Z変換は、複素積分を用いて計算されます。

xn = (1/(2πj))∮c X(z) z^(n-1) dz

ここで、積分路 C は X(z) のすべての極を含む閉曲線です。実際には、留数定理を用いたり、部分分数分解と変換表を用いたりすることで、逆Z変換は容易に計算できます。

Z変換の性質

Z変換は、線形性、シフト性、畳み込み定理といった重要な性質を持ちます。これらを利用することで、複雑な信号のZ変換を簡略化することができます。

線形性: a, b が定数、{xn}, {yn} が離散時間信号である時、
Z[axn + byn] = aZ[xn] + bZ[yn]

シフト性: k が整数である時、
Z[xn-k] = z^(-k) Z[xn]

畳み込み定理: {xn} {yn} は {xn} と {yn} の畳み込みを表す時、
Z[{xn} {yn}] = Z[xn] Z[yn]

Z領域微分:
Z[nxn] = -z(d/dz)Z[xn]

さらに、初期値定理と最終値定理は、時間領域の信号の初期値と最終値をZ変換から直接求めることを可能にします。

離散時間LTIシステムへの応用

Z変換は、離散時間線形時不変 (LTI) システムの解析に広く用いられています。LTIシステムは、定数係数の線形差分方程式で記述できます。この方程式の両辺をZ変換すると、システムの伝達関数を求めることができます。伝達関数は、システムの周波数特性を記述し、システムの安定性や応答特性の解析に役立ちます。

他の変換との関係

Z変換は、ラプラス変換や離散時間フーリエ変換 (DTFT) と密接に関連しています。具体的には、両側Z変換は、両側ラプラス変換の離散時間版とみなすことができます。また、z = e^(jω) とすることで、Z変換はDTFTに帰着します。つまり、DTFTはZ変換の特殊な場合と考えることができます。

まとめ

Z変換は、離散時間信号処理において中心的な役割を果たす強力な数学的ツールです。その性質、特に線形性と畳み込み定理は、信号処理における様々な問題を効率的に解決する上で非常に有用です。Z変換の理解は、デジタル信号処理、制御理論、通信理論などの分野を学ぶ上で不可欠です。

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