凸関数

凸関数とは

凸関数とは、ある区間で定義された実数値関数 \( f \) で、そのグラフが下に凸となるような関数のことを指します。より具体的には、区間内の任意の2点 \( x \), \( y \) と、\( 0 \lt t \lt 1 \) を満たす任意の \( t \) に対して、以下の不等式が成り立つ関数です。

\begin{equation}
f(tx + (1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y)
\end{equation}

この不等式は、関数 \( f \) のグラフ上の任意の2点を結ぶ線分が、常にグラフの上側またはグラフ上にあることを意味します。言い換えれば、関数 \( f \) のエピグラフ（グラフ上とグラフの上部の点の集合）が凸集合であるとも言えます。

狭義凸関数

狭義凸関数とは、上記の不等式において、\( x
e y \) のときに不等号が厳密なものになる関数です。つまり、

\begin{equation}
f(tx + (1-t)y) < tf(x) + (1-t)f(y)
\end{equation}

を満たす関数を指します。狭義凸関数のグラフは、2点を結ぶ線分が常にグラフの上側に位置します。

凹関数

関数 \( -f \) が凸関数であるとき、関数 \( f \) を凹関数と言います。凹関数のグラフは、上に凸となります。

凸関数の定義

実ベクトル空間内の凸集合 \( X \) 上で定義された関数 \( f: X \to \mathbb{R} \) が凸関数であるとは、任意の \( x_1, x_2 \in X \) と、任意の \( t \in [0, 1] \) に対して、以下の不等式が成立することを言います。

\begin{equation}
f(tx_1 + (1-t)x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)
\end{equation}

また、関数 \( f \) が狭義凸関数であるとは、任意の \( x_1
e x_2 \in X \) と、任意の \( t \in (0, 1) \) に対して、以下の不等式が成立することを言います。

\begin{equation}
f(tx_1 + (1-t)x_2) < tf(x_1) + (1-t)f(x_2)
\end{equation}

関数 \( -f \) が（狭義の）凸関数であるとき、\( f \) は（狭義の）凹関数であると言います。

一般形

凸関数は、イェンセンの不等式を用いて一般化できます。イェンセンの不等式は、凸関数に対する不等式で、期待値演算と関数適用との順序を入れ替えることができるという性質を表しています。

凸関数の性質

凸開区間上で定義された凸関数は連続であり、高々可算個の点を除いて微分可能です。閉区間の場合は、端点で連続でないことがあります。

連続関数 \( f \) が凸関数であるためには、任意の \( x, y \) に対して、以下を満たせば十分です。

\begin{equation}
f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x) + f(y)}{2}
\end{equation}

この条件は、凸関数の定義における \( t = 1/2 \) の場合です。

微分可能性

区間上の1変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、その微分が単調非減少であることです。また、1変数2階微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、2階微分が非負であることです。さらに、2階微分が正ならば狭義凸関数となります。ただし、逆は必ずしも成立しません。例えば、\( y = x^4 \) は狭義凸関数ですが、2階微分は正ではありません。

より一般的に、\( C^2 \) 級関数が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部でヘッセ行列が半正値であることです。

凸関数の組み合わせ

\( f \) と \( g \) が凸関数であるとき、非負の係数 \( a, b \) に対して、\( af + bg \) は凸関数です。同様に、\( \max{f, g} \) も凸関数です。

極値と最小値

凸関数の極小値は最小値です。狭義凸関数は、最小値を取る点が存在するならば、それは1点です。

レベル集合

関数 \( f \) が凸関数のとき、レベル集合 \( {x \mid f(x) < a} \) および \( {x \mid f(x) \le a} \) は、任意の \( a \in \mathbb{R} \) について凸集合です。

対数凸関数

定義域において正値であり、その対数が凸関数である関数を対数凸関数と言います。対数凸関数は凸関数であることが、重みつきの算術平均と幾何平均の定理から導かれます。同様に、対数凹関数も定義されます。正値の凹関数が対数凹関数であることも同様に示されます。

例

• - \( x^2 \) は凸関数ですが、対数凸関数ではありません。
• - \( x^3 \) は \( x > 0 \) で凸関数、\( x < 0 \) で凹関数です。
• - 指数関数 \( e^x \) は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数です。
• - ガンマ関数 \( \Gamma(x) \) は \( x > 0 \) で対数凸関数です。
• - 絶対値関数 \( |x| \) は \( x = 0 \) で微分不可能ですが、凸関数です。
• - 区間 \( [0, 1] \) で、\( f(0) = f(1) = 1 \), \( 0 < x < 1 \) のとき \( f(x) = 0 \) で定義された関数 \( f \) は不連続ですが、凸関数です。
• - 線形写像は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもあります。
• - 一次関数は凸関数であり、凹関数でもあります。逆に、関数が凸かつ凹ならば一次関数です。
• - ガウス関数 \( e^{-x^2} \) は対数凹関数ですが、凹関数ではありません。

原点に対して凸

経済学においては、曲線が原点に向かって弓なりに突き出した形になっていることを「原点に対して凸」と呼ぶことがあります。

まとめ

凸関数は、数学や経済学において重要な概念です。その定義や性質を理解することで、さまざまな問題の解析に役立てることができます。この記事では、凸関数の基本的な定義から、その性質、関連概念、具体的な例まで幅広く解説しました。

もう一度検索