核作用素

核作用素

数学の分野、特に作用素論における核作用素（かくさようそ、英: Nuclear operator）は、特定の性質を持つ重要な線形作用素です。その最も際立った特徴は、作用する空間の基底の選び方に依存せず、常に有限な「トレース」を定義できる点にあります。これは、無限次元空間上の作用素としては特殊かつ非常に有用な性質です。

核作用素は、コンパクト作用素というより広いクラスの作用素に属します。コンパクト作用素は、無限次元ベクトル空間における「有限次元的」な振る舞いをし、特異値分解などで表現されます。核作用素は、このコンパクト作用素の中でもさらに強い条件を満たすものです。

核作用素の定義や概念は、作用する空間の種類によって若干異なります。

ヒルベルト空間上の核作用素（トレースクラス作用素）

特にヒルベルト空間という内積を備えた空間上では、核作用素はトレースクラス作用素とも呼ばれます。ヒルベルト空間上のコンパクト作用素が核作用素となる条件は、その特異値（非負の実数）の列の和が有限値に収束することです。

Hilbert空間上の核作用素の最も重要な性質は、そのトレースが有限で、基底の選択に依存しないことです。作用素Lのトレースは、任意の正規直交基底{ψn}を用いて、基底ベクトルψnとLをψnに作用させたベクトルの内積の和として計算できます。この和は絶対収束し、基底を取り替えても値は変わりません。この基底独立性は、内積の線形性と和の性質から導かれます。また、このトレースの値は、作用素Lの重複を含めたすべての固有値の和と等しいという性質も持ちます。

バナッハ空間上の核作用素

より一般的なバナッハ空間における核作用素の定義は、1955年に数学者アレクサンドル・グロタンディークによって与えられました。バナッハ空間Aからバナッハ空間Bへの作用素Lが核作用素であるとは、Lが次のような級数の形で表現できることを意味します。

作用素Lは、ある係数ρn、A上の連続線形汎関数fn、B上のベクトルgnの列を用いて、それらの積ρn・fn(x)・gn（ただしxは空間Aの元）の無限和として表されます。

核作用素であるためには、これらの要素が特定の条件を満たす必要があります。具体的には、ベクトルgnは空間Bにおいてノルムが1以下に、汎関数fn*はAの双対空間においてノルムが1以下に抑えられ、かつ、係数ρnの絶対値の和が有限値に収束することが求められます。この係数ρnの絶対値の和が有限であるという条件を満たす作用素が、グロタンディークの意味での核作用素（次数1の核作用素）です。この級数は作用素ノルムの意味で収束します。

バナッハ空間上の核作用素の中には、特定の条件下でトレースを定義できるものも存在し、これは特に定義域と値域が同じ空間の場合に重要です。

核作用素の次数

グロタンディークの定義に関連して、係数ρnの絶対値のp乗の和が有限となる場合、「次数pの核作用素」という概念があります。p=1が核作用素、p=2がヒルベルト＝シュミット作用素に相当します。ヒルベルト空間では、核作用素は常にヒルベルト＝シュミット作用素ですが、その逆は一般に成り立ちません。

核作用素は、関数解析学などの分野で重要な役割を果たしています。

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