棄却サンプリング法

棄却サンプリング法（Rejection Sampling）

棄却サンプリング法は、確率分布から観測値を生成するための基本的な手法です。この方法は、特に数値解析や計算機統計学の分野で重宝されています。さらに、この方法は採択棄却法や採択棄却アルゴリズムとも呼ばれ、広く使用されています。

この手法の特徴は、任意の確率密度関数に適用可能であることです。特に、一様分布からのサンプルを効果的に用いて、対象とする確率密度関数からのサンプルを得るための手順が組まれています。具体的には、二次元空間上で一様分布から点を生成し、条件に合う点だけを選択することでサンプリングを行います。

理論的背景

棄却サンプリング法は、目的の確率密度関数に従う変数を直接サンプルするのではなく、提案された他の確率分布のサンプルを利用します。その手順は、提案分布に基づくサンプルを取得し、そのサンプルが目的の分布である確率で受け入れられるかどうかを判定するというものです。この受け入れの確率は、提案分布における相対的な密度によって決まります。

具体的には、この手法では、対象となる確率密度関数を適正に規範化するための定数（M）を決定します。この定数Mは、提案分布と目標分布の比率の最大値に基づいて設定され、全てのxに対して目標分布が提案分布を上回らないようにします。

アルゴリズムの流れ

棄却サンプリング法によるサンプリングの手順は以下の通りです：

1. 提案分布に基づく変数Yのサンプルyを抽出します。
2. 単位区間上で一様分布からサンプルuを生成します。
3. 予め定義した条件に基づいてuとf(y)/g(y)を比較します。
4. uがf(y)/g(y)以下である場合はyを受け入れて、そうでない場合はそのサンプルを棄却します。これを必要なサンプルが得られるまで繰り返します。

この環境下でサンプリングを行うと、生成されたサンプルは目標密度関数に従うことが保証されます。この手法の計算費用は、提案分布からサンプルを得る回数に比例しており、最終的には明確な数的なデータを生成することが可能となります。

応用

棄却サンプリングは、特に複雑な分布からのサンプリングが難しい場合に便利です。この方法は、モンテカルロ法の基本的な一部として観察され、メトロポリス・ヘイスティングス法等のより高度な手法の基盤ともなっていることから、非常に重要な技術といえます。

そのため、この手法は様々な分野で活用されており、計算コストが少なくなる場合には特に効率的な選択肢となります。アルゴリズムの設計においては、提案分布と目標分布がある程度似ている必要がありますが、これが最も推奨される構成となります。

総じて、棄却サンプリング法は確率論や統計学において中心的な役割を果たし続けており、今後もその重要性は変わらないでしょう。

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