単位区間

数学の分野における単位区間（英: unit interval）は、実数からなる特別な集合を指す言葉です。最も標準的かつ一般的に用いられる定義は、閉区間 [0, 1] です。これは、0以上の実数かつ1以下の実数全てを含む集合であり、端点の0と1自身もこの集合の要素に含まれます。数学の様々な文脈で頻繁に登場するため、しばしば記号 I で略記されます。

ただし、文献によっては、単位区間の定義が文脈に応じて異なる場合があります。たとえば、端点を含まない開区間 (0, 1)、あるいは片方の端点のみを含む半開区間 (0, 1] や [0, 1) も単位区間と呼ばれることがあります。しかしながら、特別な断りがない限り、また記号 I を用いる場合は、通常は閉区間 [0, 1] を指すと考えて差し支えありません。

この閉区間 [0, 1] は、実数全体の集合 R の部分集合として、非常に多くの興味深く、かつ重要な数学的性質を備えています。まず、通常の距離（二つの実数の差の絶対値）に関して、完備な距離空間です。これは、この区間内のコーシー列が必ずこの区間内の点に収束することを意味します。また、位相空間としては、実数直線上の任意の有界閉区間と同様に、拡張実数直線（-∞, ∞）上の適当な有界閉区間と位相同型であり、コンパクト性、連結性、経路連結性、局所連結性といった重要な性質を持ちます。これらの性質は、解析学や位相幾何学において、単位区間を扱う上で基礎となります。特に、無限次元の空間として知られるヒルベルトキューブは、可算無限個の単位区間を直積として構成される空間です。

解析学の視点からは、単位区間 [0, 1] は1次元の解析多様体と見なすことができます。多様体としての境界は、その二つの端点である0と1という2点から構成されます。区間に向きを考える際には、通常、小さい値から大きい値へ向かう方向、すなわち0から1への向きが標準的に採用されます。

さらに、実数の大小関係によって定められる順序に関して、単位区間は全順序集合です。つまり、区間内の任意の二つの要素は必ず比較可能です。加えて、この集合は完備束でもあります。これは、単位区間の空でない任意の部分集合に対して、その集合の上界全体の中で最小の要素である最小上界（supremum, sup）と、その集合の下界全体の中で最大の要素である最大下界（infimum, inf）が必ず単位区間 [0, 1] の中に存在することを意味します。

単位区間 [0, 1] が数学の様々な分野で活躍する中でも、特に位相幾何学におけるホモトピー論での役割は特筆に値します。ホモトピーとは、ある図形から別の図形への連続的な変形、あるいはある連続写像から別の連続写像への連続的な変形を指します。単位区間 [0, 1] は、この「連続的な変形」をパラメータ化する時間軸のような役割を果たします。写像のホモトピーを定義する際に、定義域や終域となる空間と単位区間との直積が用いられるなど、ホモトピー論の根幹をなす概念です。

単位区間がホモトピー論において時間を表現するような役割を果たすことから着想を得て、他の数学分野でも同様の「変形」や「経路」のような構造を表現する際に「単位区間」という用語が類推的に用いられることがあります。例えば、グラフ理論の一種である箙（quiver）の理論では、二つの頂点0と1を持ち、0から1へ向かうただ一つの辺を持つ最も単純な箙を単位区間と呼ぶことがあります。これは、空間上の連続的な曲線のホモトピーの概念に対応して、箙の間の準同型写像のホモトピーを定義する際の基本的な要素となります。このように、単位区間は単なる数の集合にとどまらず、数学的な構造を理解し、新たな概念を構築するための基本的な「ブロック」として機能しています。

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