構成可能集合

ゲーデルの構成可能集合について

ゲーデルの構成可能集合、またはクルト・ゲーデルの構成可能宇宙（L）は、集合論に関する重要な概念の一つであり、空集合から帰納的に形成される集合を指します。これは集合論の公理を基にしたモデルであり、特にZFC（選択公理を加えたZF）においての内部モデルとして機能します。ゲーデルは、この構成可能集合のクラスが、無矛盾なZFが成り立つならば、一般連続体仮説を含むことも示しました。

定義

構成可能集合は、すべての順序数αに対し再帰的に定義されます。Lの最初のいくつかの値は以下のようになります：

1. L₀ = ∅ （空集合）
2. αが極限順序数の時、Lαはそれより小さいすべてのLβの和集合として定義されます。
3. α + 1の場合、Lα上で、一階の論理式と有限のパラメータを用いて定義された全ての集合の集合としてLα + 1が構成されます。

このように、ある順序数αにおいて、xがLαに属する場合、そのxを構成可能集合と呼びます。そして、構成可能集合全体のクラスはL、すなわち構成可能宇宙と称されるのです。

L-階数とは

構成可能集合に対し、その集合がLα + 1に含まれる最小の順序数αをそのL-階数（L-rank）と呼び、一般にはρ(x)で表現します。これにより、各構成可能集合は特定の階数によって整理され、分類されます。

ステータスと性質

Lは、全ての順序数を含む最小のZFCモデルである点が特筆されます。また、全正則基数κに対して、ダイヤモンド原理 ⟨♢ₖ⟩ が成り立つことも重要です。さらに、ススリン木が存在することも知られています。これにより、構成可能集合は多くの興味深い特性を持ち、集合論の研究において不可欠な役割を果たしています。

まとめ

ゲーデルの構成可能集合論は、集合論におけるモデルの再構成に貢献し、特に無矛盾な理論の確立において重要な成果をもたらしました。Lの性質を考えることで、集合論の深遠な事象についての理解を深めることができます。関連項目には、集合、集合論、公理的集合論、構成可能性公理、順序数、整礎的集合、グロタンディーク宇宙などがあります。これらは全て、集合論の広範な理論体系を形成する要素として相互に関連しています。

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