標準得点

標準得点とは

私たちが受け取るテストの点数や様々な測定値は、そのままの数値だけでは、それが集団の中でどのくらいの位置にあるのか、高い点数なのか低い点数なのかを直感的に理解しにくいことがあります。例えば、「あるテストで70点を取った」という情報だけでは、そのテストが簡単だったのか難しかったのか、受験者の平均点がどれくらいだったのかが分からない限り、その点数の持つ意味を正確に把握できません。

そこで用いられるのが「標準得点」（standard score）です。標準得点とは、データが集計された集団全体の平均値や、データのばらつきの度合いを示す標準偏差といった基準を使って、ある個人がその集団の中で他の人々と比べてどの位置にいるのかを分かりやすく示すために計算された数値です。元の得点をこの標準得点に変換するプロセスを「標準化」といいます。標準化を行うことで、異なるテストや測定によって得られた数値を同じ尺度上で比較したり、その数値が持つ相対的な価値を評価したりすることが可能になります。

代表的な標準得点

標準得点にはいくつかの種類があり、それぞれ異なる基準で計算されます。代表的なものとして、Z得点、偏差値、偏差IQなどがあります。

Z得点

Z得点（z-score）は、標準得点の最も基本的な形です。これは、元の得点分布の平均を0、標準偏差を1に変換した得点です。個々の得点が平均から標準偏差の何倍だけ離れているかを示します。元のデータが集計された集団が正規分布という特定の統計的分布に従う場合、Z得点に変換することで、それは標準正規分布に従うことになります。

Z得点 z は、元の得点を x、母集団の平均を μ (ミュー)、母集団の標準偏差を σ (シグマ) とすると、以下の式で計算されます。

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

この式からわかるように、Z得点がプラスであれば平均より高く、マイナスであれば平均より低い得点であることを示します。Z得点の絶対値が大きいほど、平均からより大きく離れていることを意味します。

偏差値

偏差値は、特に日本の教育分野で学力テストの結果などで広く利用されている標準得点です。これは、Z得点を基準として、平均が50、標準偏差が10になるように変換された得点です。Z得点 z から偏差値を求める式は次のようになります。

$$偏差値 = z \times 10 + 50$$

例えば、Z得点が0（つまり平均点）であれば偏差値は50、Z得点が1（平均より1標準偏差高い）であれば偏差値は60となります。偏差値はZ得点に比べて数値の範囲が分かりやすく、平均点が50となるため直感的に理解しやすいという特徴があります。「T得点」（T-score）とも呼ばれることがあります。

偏差IQ

偏差IQは、知能検査の結果を示す際などに使われる標準得点です。これは、正規分布という理想的な分布を仮定した上で、平均を100、標準偏差を15（ウェクスラー式知能検査の場合）または16（ビネー式知能検査の場合）となるように変換された得点です。Z得点 z から偏差IQ（標準偏差15の場合）を求める式は次のようになります。

$$偏差IQ = z \times 15 + 100$$

偏差IQもZ得点や偏差値と同様に、集団内での相対的な知的な位置を示します。平均的な知能を持つ人は偏差IQが100前後となり、数値が高いほど平均よりも高い知能、低いほど平均よりも低い知能と解釈されます。

標準得点の統計的な意味とパーセンタイル順位

標準得点に変換しても、もとのデータの分布の相対的な形は変わりません。特にデータが正規分布に従う場合、標準得点においてもその性質が保たれます。正規分布では、平均値から特定の標準偏差の範囲内に、全体のデータの特定の割合が含まれることが統計的に決まっています。

例えば、偏差IQ（標準偏差15の場合）では、正規分布の性質から、全体の約68.3%の人が85から115の範囲の得点を取り、全体の約95.4%の人が70から130の範囲に含まれます。これは、平均からプラスマイナス1標準偏差の範囲に約68.3%、プラスマイナス2標準偏差の範囲に約95.4%が含まれるという正規分布の一般的な性質に基づいています。

これらの割合を利用して、得点の低い方から順に、全体の何パーセントの位置にいるかを示すのが「パーセンタイル順位」です。例えば、偏差IQが85であれば（標準偏差15の場合）、これは平均（100）から1標準偏差下（100-15=85）の位置にあります。正規分布では、平均から1標準偏差よりも低い値を取る累積確率が約16%であることが知られています。したがって、IQ85は集団全体の下から16%の順位に位置することを示し、「16パーセンタイル」と表現されます。

まとめ

標準得点は、集団の基準を用いて個々の得点を相対化し、その集団の中での位置づけを明確にするための有効な手段です。Z得点、偏差値、偏差IQなど、様々な形態がありますが、いずれも標準化というプロセスを経て算出され、異なるデータの比較や、特定の数値が集団の中でどれほど典型的か、あるいは例外的かを判断するのに役立ちます。学力評価、知能測定、心理測定など、様々な分野で個人の能力や特性を集団の中で相対的に理解するために活用されています。

もう一度検索