横断線

横断線：幾何学における重要な概念

平面幾何学において、横断線とは同一平面上の2本の直線とそれぞれ異なる点で交わる直線を指します。別名として、截線、断線、分截線、横截線、切断線などが用いられます。横断線は、特に平行線に関する議論において重要な役割を果たします。

横断線と平行線：角の関係

2本の直線と横断線が交わることで、8つの角が形成されます。これらの角は、位置関係によって同位角、錯角、内角、外角に分類されます。

同位角: 横断線によって分けられた、2本の直線の同じ側に位置する角で、一方が内角、もう一方が外角となります。平行な2直線と横断線が交わる場合、同位角は等しくなります。
錯角: 横断線によって分けられた、2本の直線の反対側に位置する角で、どちらも内角または外角となります。平行な2直線と横断線が交わる場合、錯角は等しくなります。
内角: 2本の直線の内側に位置する角です。平行な2直線と横断線が交わる場合、内角の和は180度（補角）となります。
外角: 2本の直線の外側に位置する角です。平行な2直線と横断線が交わる場合、外角の和は180度（補角）となります。

これらの角の関係は、ユークリッド幾何学における平行線公準と密接に関連しています。平行線公準によれば、2直線が平行であるならば、それらの横断線に対する同位角および錯角は等しくなります。逆に、同位角または錯角が等しいならば、2直線は平行となります。

ユークリッド原論における証明

ユークリッド原論では、横断線と平行線に関する重要な定理が証明されています。

命題27: 錯角が等しいならば、2直線は平行である。ユークリッドは背理法を用いて、2直線が平行でないと仮定すると三角形が形成され、外角が内角より大きいという命題16に矛盾することを示しました。
命題28: 同位角が等しい、または内角が補角であるならば、2直線は平行である。命題15（対頂角は等しい）と命題13（直線上のある角の外部の角は補角となる）に基づいて証明されています。
* 命題29: 平行な2直線と横断線が交わるとき、同位角および錯角は等しくなります。命題27, 28の逆が証明されています。

これらの証明にはユークリッドの5つの公準が必要ですが、現代では5番目の公準の代わりにプレイフェアの公理を用いることが一般的です。

メネラウスの定理

一般の位置にある3つの直線と交わる横断線に対しては、メネラウスの定理が成り立ちます。これは、横断線によって3つの直線が分割された線分の比に関する定理です。

高次元空間への拡張

高次元空間においても、2直線と異なる点で交わる直線を横断線と定義できます。ただし、2次元空間とは異なり、常に横断線が必ず存在するとは限りません。

3次元空間では、レグルス（二次線聚）という概念があります。レグルスとは、ねじれの位置にある3つの直線と交わる直線の集合です。これらの直線は、3つの直線に対する横断線となります。レグルスは、二次線織面と呼ばれる曲面を形成します。

まとめ

横断線は、幾何学、特に平行線に関する議論において重要な概念です。ユークリッド幾何学における基本的な定理の多くは、横断線と平行線、そしてそれらの成す角の関係に基づいて証明されており、幾何学の基礎を理解する上で不可欠な要素となっています。また、高次元空間への拡張も考えられており、より深い幾何学的な考察を可能にしています。

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