正則基数

正則基数とは

集合論において、正則基数とは、その共終数（cofinality）が自身と等しい基数のことを指します。これは、ある基数が「より小さな基数」の和として分割できないことを意味します。正則基数の概念は、無限集合の性質を理解する上で非常に重要です。

定義

より具体的に言うと、基数κが正則基数であるとは、κの部分集合で非有界な集合C⊆κの濃度が必ずκであるということです。これは、κ未満の基数によってκを「近似」することができないことを意味します。逆に、正則でない基数は特異基数と呼ばれます。有限基数については、通常、正則や特異といった用語は使用されません。

正則基数の性質（選択公理下）

選択公理が存在する場合は、以下の性質が同値となります。

1. κは正則基数である。
2. κ = Σ(λ_i)（i ∈ I）かつ、全てのiでλ_i < κ ならば、|I| ≥ κ が成り立つ。
3. S = ∪(S_i)（i ∈ I）かつ、|I| < κ かつ、全てのiで|S_i| < κ ならば、|S| < κ が成り立つ。
4. κ未満の濃度の集合の圏Set_<κ>およびそれらの間のすべての関数が、κ未満の濃度の余極限のもとで閉じている。
5. κは正則順序数である（後述）。

これらの性質は、正則基数が「小さな」部分に分割できないという直観的な考え方を数学的に表現したものです。

正則順序数

無限順序数αが、自身より小さい順序数の集合の極限にならない場合、その順序数を正則順序数と呼びます。例えば、ω_ω は正則順序数です。

例

ω (アレフ0)：有限順序数の有限列は最大元を持つため、ωはω未満の順序数の列の極限になりません。したがって、ωは正則順序数であり、アレフ0は正則基数です。有限個の有限基数の和は有限であるという事実からも、その正則性が直接示されます。

ω + 1: ωより大きい次の順序数であり、極限順序数ではないため、特異順序数です。

ω + ω: ωの次の極限順序数であり、ω, ω+1, ω+2, ...といった順序型ωの列の極限であるため、特異順序数となります。

アレフ1: アレフ0の次の基数であり、可算集合の可算和で表現できないため、正則基数です。選択公理を仮定すると、可算集合の可算和は可算集合であるという事実に基づいています。

アレフω: アレフ0, アレフ1, アレフ2, ...の次の基数であり、ω_ωは、ω, ω_1, ω_2...の極限であるため、特異基数となります。選択公理を仮定すると、アレフωは最初の無限特異濃度です。

選択公理がない場合

選択公理を仮定しない場合、基数は必ずしも整列集合の濃度とは限りません。また、濃度の和もすべての集合に対して定義できるわけではありません。そのため、正則性や特異性の概念が意味を持つのは、アレフ数などの整列可能な基数のみとなります。この場合、可算濃度の次の濃度が必ずしも正則であるとは限りません。例えば、ω1が可算順序数の可算列の極限であるという主張は、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）と矛盾しないことが知られています。さらに、アレフ0より大きいすべてのアレフ数が特異基数であるという状況も、ZFと矛盾しないと証明されています。

その他の性質と関連概念

極限順序数と正則性: 極限順序数κが正則であることと、特定のΣ1初等埋め込みの臨界点となる集合がκにおいてclub（閉非有界）であることは同値です。
小さな埋め込み: κが非可算正則であることと、特定の条件下で小さな埋め込みが存在することは同値です。
弱到達不能基数: 非可算な正則極限基数は、弱到達不能基数として知られています。その存在はZFC下では証明できず、存在がZFCと矛盾するかどうかも不明です。このような基数の存在は、追加の公理として採用されることがあります。

正則基数は、集合論の様々な場面で重要な役割を果たし、数学の基礎を深く理解するための鍵となります。

参考文献

Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, ISBN 0-12-238440-7
Kenneth Kunen, Set Theory, An Introduction to Independence Proofs, ISBN 0-444-85401-0

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