アレフ数

アレフ数とは

数学における集合論では、無限集合の「大きさ」を測るためにアレフ数という特別な数が使われます。これは、有限集合の要素の個数（濃度）を拡張した概念で、無限集合には異なる「大きさ」が存在することを明らかにします。

アレフ数の名前は、ヘブライ文字の最初の文字「アレフ」(א) に由来します。自然数全体の集合の濃度は ℵ₀ （アレフ・ノートまたはアレフ・ゼロ）と表記され、これより大きな無限集合の濃度は、順に ℵ₁, ℵ₂ のように表されます。

アレフ数の定義

アレフ数は、すべての順序数 α に対して ℵα として定義されます。ここで、順序数とは、自然数のような「順序」を持つ数の拡張概念です。この定義は、無限集合の濃度を体系的に捉えるための基礎となります。

この概念は、ゲオルク・カントールによって導入されました。彼は、濃度の概念を定義し、無限集合にも異なる濃度があることを発見しました。この発見は、数学における無限の概念を深く理解する上で重要な転換点となりました。

無限大との違い

アレフ数は、しばしば混同される「無限大 (∞)」とは異なります。アレフ数は集合の大きさを測る尺度であり、無限大は、関数や数列が限りなく大きくなる様子を表す概念です。アレフ数は、あくまで集合の要素の「個数」を抽象化したものであり、無限大のように「限りなく大きい」という概念とは異なります。

具体的なアレフ数

アレフ・ノート (ℵ₀)

ℵ₀ は、すべての自然数の集合の濃度です。これは、可算無限と呼ばれる無限の「大きさ」を表し、自然数と一対一対応（全単射）が可能な集合の濃度を指します。具体的には、以下のような集合が ℵ₀ の濃度を持ちます。

すべての平方数、立方数、累乗数からなる集合
すべての偶数、奇数からなる集合
すべての素数、合成数からなる集合
すべての整数、有理数からなる集合
すべての代数的数からなる集合
すべての計算可能数、定義可能数からなる集合
すべての有限長の二進文字列からなる集合
任意の可算無限集合の有限部分集合からなる集合

また、無限順序数である ω, ω + 1, ω⋅2, ω², ωω や ε₀ (イプシロン数) も ℵ₀ の濃度を持つ集合から構成できます。

アレフ・ワン (ℵ₁)

ℵ₁ は、すべての可算順序数からなる集合の濃度です。可算順序数全体の集合は ω₁ または Ω と呼ばれます。ω₁ は、それ自身が可算順序数よりも大きい不可算集合です。したがって、ℵ₁ は ℵ₀ とは異なる無限の「大きさ」を表します。

ℵ₁ の定義から、ℵ₀ と ℵ₁ の間に別の基数は存在しないことがわかります。選択公理を仮定すると、基数のクラスは全順序となり、ℵ₁ は2番目に小さい無限基数であることが示されます。

ω₁ は、可算の操作に関する「閉包」を考える際に有用です。例えば、σ-代数を生成する際に、すべての可算和と補集合を考慮すると、ω₁ を経由して可算回以上の操作が必要になります。

連続体仮説

実数全体の集合の濃度（連続体濃度）は 2^ℵ₀ で表されます。この連続体濃度がアレフ数の列のどこに位置するかは、ZFC（ツェルメロ・フレンケル集合論＋選択公理）からは決定できません。しかし、ZFC において、連続体仮説（CH）は 2^ℵ₀ = ℵ₁ と同値であることが示されます。

連続体仮説は、ZFC から独立であるため、証明することも反証することもできません。クルト・ゲーデルは、1940年にCHがZFCと無矛盾であることを証明し、ポール・コーエンは1963年にCHがZFCの定理ではないことを証明しました。これにより、連続体仮説は現代数学において重要な未解決問題の一つとなっています。

アレフ・オメガ (ℵω)

ℵω は、アレフ数の中で、

{ ℵₙ : n ∈ {0, 1, 2, ...} }

の最小上界となるアレフ数です。ℵω は、ZFC において実数全体の集合の濃度 2^ℵ₀ とは等しくない最初の不可算濃度であることが証明できます。任意の正整数 n に対して、2^ℵ₀ = ℵₙ と仮定することが可能であり、2^ℵ₀ を任意に大きく仮定することも可能です。ZFC において、2^ℵ₀ に関する主な制約は、それが ℵ₀ を共終数とする特別な基数とは等しくないことです。

一般のアレフ数

任意のアレフ数を定義するためには、基数の後者演算を導入する必要があります。これは任意の濃度 ρ に対して次に大きい整列された濃度 ρ⁺ を割り当てる演算です。すると、アレフ数は以下のように再帰的に定義できます。

ℵ₀ = ω
ℵ(α+1) = (ℵα)⁺
ℵλ = ⋃β<λ ℵβ (λは極限順序数)

ここで、ωα はα番目の無限始数であり、その濃度は ℵα と書かれます。ZFC において、アレフ関数 ℵ は、順序数と無限濃度の間の全単射となります。

アレフ関数の不動点

任意順序数 α に対して、α ≤ ℵα が成り立ちます。多くの場合、ωα は α よりも真に大きいですが、アレフ関数の不動点である極限順序数が存在します。最初の不動点は、以下の列の極限です。

ℵ₀, ℵ(ℵ₀), ℵ(ℵ(ℵ₀)), ...

さらに、任意の弱到達不能基数はアレフ関数の不動点となります。

選択公理の役割

任意無限順序数の濃度はアレフ数であり、どのアレフ数もある順序数の濃度です。濃度がアレフ数である順序数のうち最小のものが、そのアレフ数の始数です。

任意の無限集合の濃度がアレフ数であるという仮定は、ZF におけるすべての集合の整列の存在と同値であり、選択公理と同値です。ZFC 集合論では選択公理が含まれるため、すべての無限集合の濃度はアレフ数であり、アレフ数の始数は無限濃度の代表として扱うことができます。

選択公理がないZFでは、無限集合の濃度がアレフ数であることを証明することはできません。そのような集合は、厳密に整列可能な集合に限られるためです。ZF において、濃度の代表を構成する代替手段として、スコットのトリックが用いられることがあります。

まとめ

アレフ数は、無限集合の濃度を厳密に扱うために重要な概念です。その定義、種類、選択公理との関連性について理解することは、現代数学の基礎を築く上で不可欠と言えるでしょう。

関連項目

正則基数

参考資料

『アレフ(〓)』 - コトバンク
Weisstein, Eric W. "Aleph". mathworld.wolfram.com
Weisstein, Eric W. "Aleph-0". mathworld.wolfram.com
Weisstein, Eric W. "Aleph-1". mathworld.wolfram.com
aleph in nLab
aleph numbers - PlanetMath.
Definition:Aleph Number at ProofWiki
Efimov, B.A. (2001), “Aleph”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer
* Efimov, B.A. (2001), “Aleph-zero”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer

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