共終数

共終数とは

順序数 $\alpha$ の共終数 (cofinality) とは、別の順序数 $\beta$ から $\alpha$ への写像であって、その値域が $\alpha$ の中で非有界となるようなものが存在するような、最小の $\beta$ のことを指します。

ここで、$\alpha$ の部分集合 $X$ が非有界であるとは、任意の $\gamma \in \alpha$ に対して、$\gamma$ よりも大きい $X$ の元が存在することを意味します。簡単に言うと、$X$ の要素が $\alpha$ の上限にいくらでも近づけることができるということです。

$\alpha$ の共終数は、しばしば $\text{cf}(\alpha)$ と表記されます。共終数は順序数の重要な性質であり、他の多くの性質に影響を与えます。特に、正則基数と特異基数の違いは顕著です。

共終数の定義

$\alpha$ の共終数 $\text{cf}(\alpha)$ は、以下の条件を満たす最小の順序数 $\beta$ として定義されます。

1. ある写像 $f: \beta \to \alpha$ が存在する。
2. $f$ の値域は $\alpha$ 内で非有界である。

言い換えると、$\alpha$ にいくらでも近づけるような、より小さい順序数 $\beta$ があれば、その最小のものが共終数です。

正則基数

順序数 $\alpha$ の共終数が $\alpha$ 自身に等しいとき、つまり $\text{cf}(\alpha) = \alpha$ であるとき、$\alpha$ は正則 (regular) であるといいます。明らかに、正則な順序数は基数であり、そのため通常は正則基数と呼ばれます。

例えば、後続基数はすべて正則基数です。$\text{cf}(\alpha)$ が常に正則であることから、$\text{cf}(\text{cf}(\alpha)) = \text{cf}(\alpha)$ が成り立ちます。

非可算で正則な極限基数は弱到達不可能基数と呼ばれ、その存在はZFC（標準的な集合論の公理系）からは証明できません。

正則基数の特徴

$\text{cf}(\alpha) = \alpha$ を満たす
後続基数はすべて正則基数
共終数の共終数は、元の共終数と等しい：$\text{cf}(\text{cf}(\alpha)) = \text{cf}(\alpha)$

特異基数

正則でない順序数のことを特異順序数 (singular ordinal) と呼び、特にそれが基数の場合には特異基数 (singular cardinal) と呼びます。

例えば、$\omega$ 番目の無限基数 $\aleph_{\omega}$ は特異基数です。これは、$\aleph_{\omega}$ が $\omega$ 個の小さな基数の和で表現できることを示しています。

特異基数の構造は公理的集合論における重要な研究対象であり、シルバーの定理やシェラーの pcf 理論などの著しい成果が挙げられています。

特異基数の特徴

$\text{cf}(\alpha) < \alpha$ を満たす
例として、$\aleph_{\omega}$ が挙げられる
集合論において興味深い構造を持つ

共終数の重要性

共終数は、順序数や基数の構造を理解する上で非常に重要な概念です。正則基数と特異基数の区別は、集合論における様々な現象を説明する上で不可欠です。特に、特異基数の構造に関する研究は、現代集合論における重要なテーマの一つです。

まとめ

この記事では、順序数の共終数について解説しました。共終数の定義、正則基数と特異基数の概念、そしてそれらの関係について理解を深めることができたかと思います。共終数は順序数の重要な性質を理解する上で不可欠な概念であり、その理解は集合論の理解に繋がります。

もう一度検索