自乗

自乗（じじょう）について

自乗とは、ある数をその自分自身で掛け算する演算のことで、結果として得られる数も自乗と呼ばれます。この概念は二乗や平方とも称され、自乗の実施は、指数2の冪算に相当します。自乗が平方と呼ばれるのは、幾何学的な観点から導かれたものです。具体的には、数を辺の長さとした場合、その数の自乗は、該当する辺の長さを持つ正方形の面積を表します。

記法

自乗を表現するための特定の記法は存在せず、乗算や冪算の記法が使われます。例えば、数$x$の自乗は$x^2$または$xx$として表記されます。

性質

整冪一般の性質

自乗は自然数、整数、実[[数]]及び複素数に関しても閉じており、自然数の自乗は自然数、整数の自乗は整数、実[[数]]の自乗は実[[数]]、複素数の自乗は複素数です。また、積や商の自乗は自乗の積や商として表されます。

$$
(xy)^2 = x^2y^2
$$

同様に、

$$
igg(rac{x}{y}igg)^2 = rac{x^2}{y^2}
$$

指[[数関数]]の自乗は、元の数の2倍の指[[数関数]]となります。また、正の実[[数]]の自乗の対数は、元の対数の2倍です。

和の自乗

数の和の自乗は、二項係[[数]]を用いた多項式形式で表されます。このように、

$$
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
$$

複素数の自乗は、絶対値が自乗となり、偏角が2倍になります。具体的には、

$$
^2, ext{ } ext{arg} z^2 = 2 ext{arg} z
$$

自乗に特有の性質

自乗には特有の性質があり、反[[数]]の自乗は元の数と同じ結果をもたらします。すなわち、自乗は偶関数で次のように表記できます。

$$
(-x)^2 = x^2
$$

また、実[[数]]の自乗は常に非負であり、0でない実[[数]]の自乗は正であることが定義されます。具体的には、
$$
x^2 ext{ は } 0以上
$$

自乗の計算には平方根の定義を利用することができ、平方根を求めた後に自乗すると、元の数に戻りますが、注意点として自乗の平方根は元の数とは限らない点です。

自乗の応用

自乗の概念は、日常的な計算にも広く応用されています。例えば、正方形の面積はその辺の長さの自乗として計算でき、一般的な公式に従い、面積は辺の長さの自乗に比例します。

$$
S_{ ext{正方形}} = a^2, ext{ } S_{ ext{円}} = ext{π}r^2, ext{ } S_{ ext{三角形}} = rac{ ext{√3}}{4} a^2
$$

物理学でも、自乗は様々な公式に必須の要素であり、特にエネルギーや運動に関わる公式に頻繁に現れます。たとえば、フックの法則によれば、エネルギーは変位の自乗に比例し、等加速度運動においては移動距離が経過時間の自乗に比例します。

また、関数の観点からは、自乗は偶関数であり、x ≥ 0 では単調増加し、x ≤ 0 では単調減少する性質があり、また無限回微分可能です。こうした性質は、数理統計などの誤差を扱う際にも非常に便利です。

行列の自乗

行列においても自乗という概念が導入されますが、行列の場合は自身との積として定義されます。ただし、行列の乗算においては左側の行数と右側の列数が一致しなければなりませんので、正方行列に対してのみ自乗が定義される点に注意が必要です。行列の自乗については、特定の条件下で零行列も作成可能です。

コンピュータでの自乗

現実のプログラミングでは、大半のプロセッサには数の自乗を直接計算する命令が存在しないため、乗算命令を用いて計算を行います。数学的には冪関数で計算可能ですが、計算速度の観点からは単純に乗算する方式が選ばれることが多いです。したがって、実装の段階で自乗の計算は他の冪演算に優先して行われることが通常です。

自乗の概念は、数学から物理学、コンピュータサイエンスに至るまで幅広く利用されており、それぞれの分野で重要な役割を果たすものです。

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