正準量子化

正準量子化について

正準量子化（せいじゅんりょうしか）とは、古典的な力学から量子力学を構築するための方法論です。この手法では、ハミルトン力学の正準変数を量子力学のエルミート演算子に変換し、古典的な物理量の非可換性を扱います。このプロセスは、物理学において非常に重要な概念です。

正準量子化の手続き

正準量子化は以下の手順で進められます：
1. 古典的な系の記述: 対象となる物理系をハミルトン力学形式で記述します。
2. 正準変数の置換: ハミルトン形式における正準変数（位置変数q、運動量p）を、正準交換関係を満たす演算子（ˆq、ˆp）に置き換えます。
3. 古典的力学量の量子化: 古典的な力学量A(q, p)は、先ほどの演算子を用いて量子化されます。これにより、古典的な量Aは、量子力学における対応物ˆAに変換されます。

具体例: 1自由度系

1自由度の場合、正準変数qとpの正準交換関係は、以下のように表現されます。

$$[\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar$$

ここで、iは虚数単位、\(\hbar\)はプランク定数を表します。また、N自由度系の場合、正準変数は次元に依存した正準交換関係を形成します。

波動関数とその作用

正準量子化では、波動関数に対して特定の演算子が機能します。無限次元のヒルベルト空間で定義された波動関数に対し、位置演算子は座標表示では\(\hat{q} = q\)として、運動量演算子は\(\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q}\)として作用します。逆に、運動量表示の波動関数に対しては次のように作用します。

• - 位置演算子: \(\hat{q} = -\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial p}\)
• - 運動量演算子: \(\hat{p} = p\)

この作用は、正準交換関係を満たすことによって量子力学の基本法則を確立します。

1次元系における波動関数の詳細

1次元の量子系において、波動関数は\(\psi(q, t)\)として表現されます。ここで、位置演算子と運動量演算子によって次のように作用します:

$$\hat{q} \psi(q, t) = q \psi(q, t)$$
$$\hat{p} \psi(q, t) = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial q} \psi(q, t)$$

そして、これらの演算子の交換関係が保持されていることが示されます。

古典力学との関連性

正準量子化の過程を理解するためには、古典力学におけるポアソン括弧と、量子力学における交換関係の関連性が重要です。ポアソン括弧は、古典力学の物理量の時間発展を表現する一方で、交換関係は量子系での物理量の振る舞いを示します。古典のシステムにおける可換性が、量子系では非可換性に変わることも重要なポイントです。

課題と新たなアプローチ

正準量子化には、いくつかの課題が存在します。量子系における演算子の積の順序は不定であり、エルミート演算子の積が再びエルミートになる保証がありません。これには、ワイルの対称化法や経路積分を用いた量子化手法が提案されています。また、特定の物理システムの古典的な記述が正準量子化の基盤となりますが、経路積分法を用いることで、ラグランジアンからの直接的な量子化も可能になります。

第二量子化の手法

場の量に対する正準量子化は、第二量子化と呼ばれ、場の演算子とその運動量に対して特定の交換関係を設けることで行われます。例えば、場の演算子\(\phi(t, x)\)とその正準運動量\(\pi(t, y)\)は、次のような交換関係を持っています:

$$[\phi(t, x), \pi(t, y)] = i\hbar \delta(x - y)$$

このように、正準量子化は量子力学の根幹を成し、古典から量子への移行を明確にする重要な手法といえます。

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