正百二十胞体

正百二十胞体とは

正百二十胞体（Regular hecatonicosachoron）は、四次元空間における正多胞体の一種であり、120個の正十二面体によって構成される図形です。三次元空間における正十二面体を高次元に拡張したものであり、その複雑な構造と美しい対称性から数学的な興味を引く対象となっています。

構成要素

正百二十胞体は、以下の要素によって構成されています。

胞（構成立体）: 120個の正十二面体。
面: 720枚の正五角形。各正五角形には2つの正十二面体が集まります。
辺: 1200本の辺。各辺には3枚の正五角形と3つの正十二面体が集まります。
頂点: 600個の頂点。各頂点には4本の辺、6枚の正五角形、4つの正十二面体が集まります。

これらの要素は、それぞれの形状によって集まる数が異なり、線分の端点の数、正三角形の頂点と辺の数、正四面体の頂点と辺と面の数に対応しています。これはパスカルの三角形の各段と密接に関連しています。

双対とシュレーフリ記号

正百二十胞体の双対は正六百胞体です。また、そのシュレーフリ記号は{5,3,3}で表されます。シュレーフリ記号は多胞体の構造を簡潔に表すための記法で、正百二十胞体の場合は、正五角形が集まり、それが正三角形のように集まり、さらに正四面体のように集まることを示しています。

頂点座標

正百二十胞体の600個の頂点は、以下の座標で表されます。ここで、ϕは黄金比 (1+√5)/2 を示します。

(0, 0, ±2, ±2): 24個の頂点（複号任意と置換）
(±1, ±1, ±1, ±√5): 64個の頂点（複号任意と置換）
(±ϕ−2, ±ϕ, ±ϕ, ±ϕ): 64個の頂点（複号任意と置換）
(±ϕ−1, ±ϕ−1, ±ϕ−1, ±ϕ2): 64個の頂点（複号任意と置換）
(0, ±ϕ−2, ±1, ±ϕ2): 96個の頂点（複号任意と偶置換）
(0, ±ϕ−1, ±ϕ, ±√5): 96個の頂点（複号任意と偶置換）
* (±ϕ−1, ±1, ±ϕ, ±2): 192個の頂点（複号任意と偶置換）

これらの座標は、正百二十胞体の複雑な構造を数学的に記述する上で非常に重要な役割を果たしています。黄金比が頻出する点も、この図形の持つ美しい調和を物語っています。

正百二十胞体は、その複雑さと美しい対称性から、数学、特に幾何学の分野で重要な研究対象となっています。高次元の図形を理解するための重要な例として、多くの研究者によって研究されています。

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