水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解

水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解

本章では、質量が異なる2つの粒子系に関する時間非依存なシュレーディンガー方程式の解を扱います。この系は、質量m0の正の電荷を有する粒子と、質量m1の負の電荷を持つ粒子のクーロン相互作用を考慮したものです。物理学的な背景として、このようなシステムは外力が働かない状態での水素原子に相当し、陽子と電子の結合をモデル化しています。

シュレーディンガー方程式の概要

シュレーディンガー方程式は、粒子の状態を記述する基本的な方程式であり、以下の形状を持ちます。

$$
egin{equation}
rac{-rac{ar{h}^{2}}{2(m_{0}+m_{1})}
abla^{2}_{c}} - rac{ar{h}^{2}}{2 ilde{m}}
abla^{2}_{x} - rac{Q}{|x|} \\
egin{equation}
H = -rac{ar{h}^{2}}{2(m_{0}+m_{1})}
abla^{2} - rac{ar{h}^{2}}{2 ilde{m}}
abla^{2}_{x} - rac{Q}{|x|}
egin{equation}


$$

ここで、$
abla^{2}_{c}$や$
abla^{2}_{x}$は重心系と粒子間の相対的位置のラプラシアンを示し、$ar{h}$は換算プランク定数、$Q$は粒子間のクーロン相互作用を表す定数です。

重心系への還元

時間非依存なシュレーディンガー方程式を扱うためには、まずシステムを重心系に還元します。二つの粒子の重心は以下で定義されます。

$$
egin{equation}
oldsymbol{c} = rac{m_{0} oldsymbol{x}_{0}+m_{1} oldsymbol{x}_{1}}{m_{0}+m_{1}}
egin{equation}

そして、粒子間の相対位置は、

$$
egin{equation}
oldsymbol{x} = oldsymbol{x}_{1} - oldsymbol{x}_{0}
egin{equation}

と定義します。換算質量は、

$$
egin{equation}
ilde{m} = rac{m_{0} m_{1}}{m_{0}+m_{1}}
egin{equation}

この定義を基に、ハミルトニアンは次のように書き換えられます。

$$
egin{equation}
H = -rac{ar{h}^{2}}{2(m_{0}+m_{1})}
abla^{2}_{c}-rac{ar{h}^{2}}{2 ilde{m}}
abla^{2}_{oldsymbol{x}}- rac{Q}{|oldsymbol{x}|}
egin{equation}

無次元化

さらに解析を進めるために、適切なスケールを見つけ、変数を無次元化します。

$$
egin{equation}
(x', y', z') = rac{(x,y,z)}{a_{0}}, \
E' = rac{E}{E_{a}}
egin{equation}

ここで、$a_{0}$はボーア半径、$E_{a}$はエネルギーの単位を示します。

この無次元化を行うことで、ハミルトニアンは以下の形式になります。

$$
egin{equation}
ilde{H} = -rac{1}{2}
abla^{2} + rac{1}{|oldsymbol{x}|}
egin{equation}

ボーア半径とハートリー

特に、陽子の質量が電子よりもかなり重い場合の水素原子の系における$a_{0}$および$E_{a}$はそれぞれ以下のように表されます。

$$
egin{equation}
a_{0} = rac{4 ext{π}ar{ ext{ε}}_{0}ar{h}^{2}}{m_{1} e^{2}}, \
E_{a} = rac{m_{1} e^{4}}{16 ext{π}^{2}ar{ε}_{0}^{2}ar{h}^{4}}
egin{equation}

ここで、$e$は電気素量を示します。

解の求解

この章では、無次元化したハミルトニアンのウィルソン方程式に基づき、解を導くことに重点を置きます。特に、変数分離法を適用し、波動関数の形式を導出します。最終的に得られる波動関数とそのエネルギーは、量子数に依存する仕組みを反映し、すなわち、主量子数、角運動量量子数、磁気量子数などを含みます。

まとめ

本章を通じて、シュレーディンガー方程式を用いて水素原子の波動関数とエネルギー準位を理解しました。系の複雑さを軽減するために、重心系に還元し無次元化を行うことで、問題をより扱いやすい形式に変換しました。量子力学の基礎を形成するこの分析は、他の物理系への応用にも繋がる重要な知見を提供します。

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