波数ベクトル

波数ベクトル：波動の性質を解き明かすベクトル

波数ベクトルは、波動の空間的な性質を記述する上で重要なベクトル量です。全てのベクトルと同様に、大きさ（波数または角波数）と方向を持ち、その両方が波動の特性を理解する上で不可欠です。波数ベクトルの大きさは波長に反比例し、方向は一般的には波動の伝播方向を示しますが、必ずしも一致するとは限りません。この点については後述します。

定義：物理学と結晶学における違い

波数ベクトルの定義には、主に物理学と結晶学で用いられる2つの異なる定義が存在します。両者の違いは、大きさの定義に係数2πが含まれるか否かです。本稿では、便宜上、前者を「物理学の定義」、後者を「結晶学の定義」と呼び、それぞれの定義における波数ベクトルの性質を詳しく見ていきます。

物理学の定義：進行波の記述

物理学において、理想的な一次元進行波は次のような式で表現されます。

ψ(x,t) = Acos(kx - ωt + φ)

ここで、

x：位置
t：時間
ψ(x,t)：波動の変位（例えば、水波であれば水位、音波であれば気圧）
A：波の振幅
φ：位相角
ω：角周波数（単位時間あたりの振動数）
* k：波数（単位長さあたりの振動数）

この式において、kは波数ベクトルの大きさであり、波長λとk = 2π/λ の関係にあります。この波は、+x方向に位相速度 ω/k で伝播します。

結晶学の定義：波動の表現

結晶学では、同一の波動を異なる式で表現します。一次元と三次元の場合、それぞれ以下の式で表されます。

ψ(x,t) = Acos(2π(kx - νt) + φ)

ψ(r,t) = Acos(2π(k・r - νt) + φ)

ここで、νは周波数であり、ω = 2πν の関係にあります。結晶学の定義では、波数ベクトルの大きさはk = 1/λ と定義されます。この違いは、波動の表現方法の違いによるものであり、本質的な差異ではありません。

波数ベクトルの向き：伝播方向との関係

波数ベクトルの向きは、必ずしも波動の伝播方向と一致するとは限りません。「波動の伝播方向」とは、波動エネルギーの流れの方向、つまり群速度の方向を指します。一方、波数ベクトルは位相速度の方向、すなわち等位相面（波面）の法線方向を示します。

無損失等方性媒質（空気、ガラスなど）では、波数ベクトルと波動の伝播方向は一致しますが、媒質に損失がある場合や、異方性媒質（非対称結晶、堆積岩など）中を波動が伝播する場合、両者は異なる方向を向きます。波数ベクトルは常に等位相面に垂直であることを強調しておきます。

固体物理学における波数ベクトル

固体物理学において、結晶中の電子の波動関数はブロッホ波と呼ばれる特殊な波動関数で表現されます。この場合、電子の「波数ベクトル」は、ブロッホ波の包絡波の波数ベクトルとして定義され、「物理学の定義」が用いられます。

まとめ

波数ベクトルは、波動の空間的な性質を記述する重要なベクトルです。その大きさや方向は、波長、媒質の性質、そして波動の種類によって変化します。物理学と結晶学では定義が異なるものの、いずれも波動の理解に不可欠な概念です。特に、媒質の異方性や損失を考慮する際には、波数ベクトルの向きと波動の伝播方向の違いに注意が必要です。

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