深さ (環論)

深さ（Depth）

深さは、可換およびホモロジー代数における重要な不変量であり、特に環と加群の性質を理解するための鍵となります。深さは一般的に定義可能ですが、通常は可換ネーター局所環上の加群に焦点を当てることが多いです。この文脈では、加群の深さは最大の射影次元と関係があり、Auslander-Buchsbaumの公式に示されています。具体的には、深さは以下の不等式で表されます。

$$
ext{depth}(M) \\ ext{(Mの深さ)} \\ ext{dim}(M) \\ ext{(Mの次元)}
$$

ここで、dim Mは加群Mのクルル次元を示します。深さは、良い性質を持つ環や加群を定義する際に重要な役割を果たします。特に、コーエン-マコーレー環および加群では、深さと次元が等しくなるため、その特性を理解する上でのウィンドウを提供しています。

定義

まず、環Rを可換ネーター環、IをRのイデアル、MをIMによって真に含まれる有限R-加群とします。この場合、加群MのI-深度（I-depth）は以下のように定義されます。

$$
ext{depth}_I(M) = ext{min}ig\{i : ext{Ext}^i(R/I, M)
eq 0 ig
$$

この定義から、環Rの深度は、R自体を加群として扱った際のその深度と一致します。さらに、David Reesによって提案された定理により、深さは正則列を使って特徴づけることも可能です。

深さと正則列

定理（Rees）によると、可換ネーター局所環Rの極大イデアルをm、加群Mを有限生成R-加群とした場合、Mのすべての極大正則列x1, ..., xnは、各xiがmに属する場合、Mのm-深度と同じ長さnを持つことが示されています。これは、加群の性質をよりよく理解するための重要な視点を提供します。

深さと射影次元の関係

可換ネーター局所環上の加群の深さと射影次元は、互いに相補的であることが知られています。これはAuslander-Buchsbaumの公式の核心部分であり、加群の深さの計算方法を効率的に提供します。ここで、Rを可換ネーター局所環、mをその極大イデアル、Mを有限生成R-加群とすると、Mの射影次元が有限である場合、以下の公式が成り立ちます。

$$
ext{pd}_R(M) + ext{depth}(M) = ext{depth}(R)
$$

深さ0の環

可換ネーター局所環Rが深さ0を持つことと、その極大イデアルmが素因子であることとは同値です。また、Rの0でない元xが存在して、xがmを零化する場合、すなわち$x{ heta}m=0$が成り立つことも同様に重要です。これは環が本質的に、閉点が埋め込まれた成分を示唆しています。具体例として、$k[x,y]/(x^2,xy)$（kは体）は、原点に二重点を持つ直線を表し、原点では深さ0であり、次元は1です。これはコーエン・マコーレーでない環の一例として扱われます。私たちの理解を深める上で、深さは非常に重要な概念です。

各種参考文献

• - Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 150. Berlin, New York: Springer-Verlag.
• - Winfried Bruns; Jürgen Herzog (1993). Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press.

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